阅读下列材料：br /> 小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，&ang;ACB=30&deg;，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．br /> 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据&ldquo;两点之间，线段最短&rdquo;，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻

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24200. （2017•南靖县星光中学并入船中•八下期中）阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
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[考点]

三角形的外角性质等边三角形的判定与性质一角为60度的等腰三角形是等边三角形勾股定理菱形的判定与性质几何变换综合题费马点问题

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC，
∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝5，∠PCD＝60°，
∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，
∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°．
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝6，CE＝5，
∴BE＝

＝

，
即PA+PB+PC的最小值为

；

（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，
则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段；

②如图，当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．

∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，
∴△APC≌△DEC，
∴CP＝CE，∠PCE＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE＝CE＝CP，∠EPC＝∠CEP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝

∠ABC＝30°，
∴∠PCB＝∠EPC﹣∠CBP＝60°﹣∠30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，
∴BP＝CP，
同理，DE＝CE，
∴BP＝PE＝ED．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，
∴BO＝BC•cos∠OBC＝4×

＝2

，
∴BD＝2BO＝4

，
∴BP＝

BD＝

．
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为

．
故答案为：

．

[点评]

本题考查了"三角形的外角性质,等边三角形的判定与性质,一角为60度的等腰三角形是等边三角形,勾股定理,菱形的判定与性质,几何变换综合题,费马点问题"，属于"压轴题"，综合性较强，有一定难度．读懂阅读材料，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

19063. （2016•交大附中•模拟）小明的数学探究小组进行了系列探究活动．
类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．
探索理解：
（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；

尝试体验：
（2）如图2，邻等四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．
解决应用：
（3）如图3，邻等四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4．
小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．

共享时间:2016-06-21 难度:5 相似度:0.81

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25157. （2022••八下期中）已知，∠MON=90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，BP．
（1）如图1，当∠OAP=45°时，试判断OB与AP的位置关系：；
（2）如图2，当∠OAP=60°时，OA=2时，求线段OB的长度；
（3）如图3，当∠OAP=α时，将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．
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共享时间:2022-05-12 难度:4 相似度:0.79

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361. （2012•陕西省•真题）如图，正三角形ABC的边长为3+

．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

共享时间:2020-07-03 难度:5 相似度:0.79

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27928. （2023•汇知中学•九上期中）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=2AB，BE∥AC，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABEO是菱形．
（2）若AC

,BD=8，求四边形ABEO的面积．
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共享时间:2023-11-21 难度:2 相似度:0.64

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24124. （2018•汇知中学•八下期中）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，CD是△ACB的高，垂足为点D．
（1）求证：∠BCD=∠CAD；
（2）若点F是△ABC的边BC上一点，连接AF交CD于点E，且∠CEF=∠CFE．求证：AF平分∠CAB．
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共享时间:2018-05-26 难度:4 相似度:0.64

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20154. （2021•西工大附中•四模）如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE．

共享时间:2021-05-31 难度:3 相似度:0.64

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2895. （2019•永春华侨中学•模拟）如图，PB为⊙O的切线，B为切点．过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若

，且OC＝4，求PA的长．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:0.64

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2765. （2020•永春华侨中学•模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．
求证：四边形BDCE是菱形．
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共享时间:2020-06-26 难度:3 相似度:0.64

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1145. （2020•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，等边△ABC有　　条对称轴
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=15，等边△EFP的顶点E，F分别在BA，BC上，且BE=BF=2．连接BP并延长，与AC交于点P′，过点P′作P′E′∥PE交AB于点E′，作P′F′∥PF交BC于点F′，连接E′F′，求S_{△P′E′F′}．
问题解决
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，要求花卉种植面积尽可能小，求花卉种植面积（S_△PAB+S_△PCD）的最小值．
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共享时间:2020-07-31 难度:5 相似度:0.62

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26027. （2024•交大附中•二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=60°，弦BD交AC于点E，且AE=DE．
（1）求证：△EBC是等边三角形；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=3，EG=2，求AB的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:0.62

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25783. （2024•高新一中•五模）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
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（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB=20m,点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、FO总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、FO总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．

共享时间:2024-04-20 难度:5 相似度:0.54

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6520. （2017••模拟）观察思考：如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB＝CD＝4cm．已知a∥b，a、b间的距离为

cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A₁BC．
（1）当A₁、D两点重合时，则 AC＝　　cm．
（2）当A₁、D两点不重合时，
①连接A₁D，探究A₁D与BC的位置关系，并说明理由．
②若以A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出AC的长．

共享时间:2017-06-20 难度:5 相似度:0.54

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24844. （2022•南靖县星光中学并入船中•八下期中）将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，能够解决很多几何问题．
（1）如图1，直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上的一点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接DF．若AD=2，BD=1，则CD= ；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是16，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，求四边形ABCD的面积．
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共享时间:2022-05-25 难度:4 相似度:0.47

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1138. （2020•陕西省•副题）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点，连接DE并延长，交BC于点M，∠DAC的平分线交DM于点F．求证：AF=CM．
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共享时间:2020-07-31 难度:3 相似度:0.47

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23398. （2020•晋江市南侨中学•八上二月）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE，AF平分∠DAE交BC于F．
（1）探究线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明；
（2）若BD=3、CF=4，求AD的长．
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共享时间:2021-12-15 难度:4 相似度:0.47

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2017-05-06

初中数学 | 解答题

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2016-2017学年陕西省西安市爱知中学八下数学期中试卷

更新:2017-05-06 12:11浏览量:576

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