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25157. （2022••八下期中）已知，∠MON=90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，BP．
（1）如图1，当∠OAP=45°时，试判断OB与AP的位置关系：；
（2）如图2，当∠OAP=60°时，OA=2时，求线段OB的长度；
（3）如图3，当∠OAP=α时，将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．
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共享时间:2022-05-12 难度:4

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[考点]

等边三角形的判定与性质含30度角的直角三角形全等三角形的判定与性质几何变换综合题

[答案]

（1）垂直；
（2）2

[解析]

解：（1）∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AB，
∴AB=AP，且∠PAB=60°．
∴△ABP是等边三角形，
∴BA=BP，
∵∠MON=90°，∠OAP=45°，
∴∠OPA=90°-∠OAP=45°，
∴∠OAP=∠OPA，∴OA=OP，
∴OB是AP的垂直平分线，
故答案为：垂直；
（2）由（1）知，△ABP是等边三角形，
∴AP=BP，∠APB=60°，
∵∠OAP=60°，∠MON=90°，
∴∠APO=30°，
∴∠BPO=∠BPA+∠APO=90°，
∴∠BPH=90°，
∴AP=BP=2OA=2×2=4，
在Rt△AOP中，OP²=AP²-OA²=4²-2²=12，
在Rt△BOP中，OB²=OP²+BP²=12+4²=28，
∴OB=2

；
（3）结论：OA=2CH．
理由：如图3中，
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由（1）可知，△ABP是等边三角形，
∴BA=BP，∠ABP=∠BPA=60°．
∵线段OB绕点O顺时针旋转60°得到OC，
∴OB=OC，∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BO=BC，∠OBC=60°，
∴∠ABO=60°-∠OBP=∠PBC，
∴△ABO≌△PBC（SAS），
∴AO=PC，∠BPC=∠BAO，
∵∠OAP=α，
∴∠BAO=∠BAP+∠OAP=60°+α，
∴∠BPC=60°+α，
∵∠BPN=180°-∠APO-∠BPA=120°-（90°-α）=30°+α，
∴∠HPC=∠BPC-∠BPN=30°，
∵CH⊥ON，
∴∠CHO=90°，
∴在Rt△CHP中，PC=2CH，
∴OA=2CH．

[点评]

本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6239. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.25

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21196. （2019•爱知中学•一模）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF=BE，CE=DF，求证：∠C=∠D．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.25

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20179. （2021•西工大附中•五模）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，连接BD，∠A＝∠E，AC＝ED．求证：∠CBD＝∠CDB．

共享时间:2021-06-03 难度:3 相似度:1.25

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24841. （2022•爱知中学•八下期中）如图，AD⊥BD，AC⊥BC，AD与BC交于点O，AD=BC．
求证：OC=OD．
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共享时间:2022-05-25 难度:3 相似度:1.25

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.25

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25677. （2023•陕西省•真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
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共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.25

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25103. （2022•铁一中学•八下期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE，∠A=30°，求∠DEF的度数．
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共享时间:2022-05-18 难度:3 相似度:1.25

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.25

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.25

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.25

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24220. （2021•交大附中•七下期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，AD=EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB=2，BE=3，求CD的长．
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共享时间:2021-05-06 难度:4 相似度:1.25

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25804. （2024•西北大附中•一模）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
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共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.25

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25153. （2022••八下期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．若CD=3cm,求EF的长．
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共享时间:2022-05-12 难度:3 相似度:1.17

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25783. （2024•高新一中•五模）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
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共享时间:2024-04-20 难度:5 相似度:1.13

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26027. （2024•交大附中•二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=60°，弦BD交AC于点E，且AE=DE．
（1）求证：△EBC是等边三角形；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=3，EG=2，求AB的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:0.83

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2022-05-12

初中数学 | 解答题

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2021-2022学年陕西省西安市雁塔区高新一中八下期中数学试卷

更新:2022-05-12 03:22浏览量:393

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