观察思考：如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB＝CD＝4cm．已知a∥b，a、b间的距离为cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A1BC．（1）当A1、D两点重合时，则 AC＝　　cm．（2）当A1、D两点不重合时， ①连接A1D，探究A1D与BC的位置关系，并说明理由． ②若以A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出AC的长．

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6520. （2017••模拟）观察思考：如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB＝CD＝4cm．已知a∥b，a、b间的距离为

cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A₁BC．
（1）当A₁、D两点重合时，则 AC＝　　cm．
（2）当A₁、D两点不重合时，
①连接A₁D，探究A₁D与BC的位置关系，并说明理由．
②若以A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出AC的长．

共享时间:2017-06-20 难度:5

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[考点]

解一元二次方程勾股定理相似三角形的判定与性质平行四边形的判定与性质菱形的判定与性质矩形的性质四边形综合题轴对称的性质

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）当A₁、D两点重合时，如图1①和图1②，

∵CD∥AB，CD＝AB，
∴四边形ACDB是平行四边形．
∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，A₁、D两点重合，
∴AC＝A₁C＝DC．
∴平行四边形ACDB是菱形．
∴AC＝AB＝4（cm）．
故答案为：4．

（2）当A₁、D两点不重合时，
①A₁D∥BC．
证明：过点A₁作A₁E⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图2，

∵CD∥AB，CD＝AB，
∴四边形ACDB是平行四边形．
∴S_△ABC＝S_△DBC．
∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，
∴S_△ABC＝S_△A1BC．
∴S_△DBC＝S_△A1BC．
∴

BC•DF＝

BC•A₁E．
∴DF＝A₁E．
∵A₁E⊥BC，DF⊥BC，
∴∠A₁EB＝∠DFB＝90°．
∴A₁E∥DF．
∴四边形A₁DFE是平行四边形．
∴A₁D∥EF．
∴A₁D∥BC．
②Ⅰ．如图3①，

过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH＜BH．
∵四边形A₁DBC是矩形，
∴∠A₁CB＝90°．
∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，
∴∠ACB＝∠A₁CB．
∴∠ACB＝90°．
∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝∠CHB＝90°．
∴∠ACH＝90°﹣∠HCB＝∠CBH．
∴△AHC∽△CHB．
∴

＝

．
∴CH²＝AH•BH．
∵AB＝4，CH＝

，
∴3＝AH•（4﹣AH）．
解得：AH＝1或AH＝3．
∵AH＜BH，
∴AH＝1．
∴AC²＝CH²+AH²＝3+1＝4．
∴AC＝2．
Ⅱ．如图3②，

过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH＞BH．
同理可得：AH＝3．
∴AC²＝CH²+AH²＝3+9＝12．
∴AC＝2

．
Ⅲ．如图3③，

∵四边形A₁DCB是矩形，
∴∠A₁BC＝90°．
∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，
∴∠ABC＝∠A₁BC．
∴∠ABC＝90°．
∴AC²＝BC²+AB²＝3+16＝19．
∴AC＝

．
综上所述；当以A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形时，AC的长为2或2

或

．

[点评]

本题考查了"勾股定理平行四边形的判定与性菱形的判定与性质矩形的性质四边形综合题轴对称的性质相似三角形的判定与性解一元二次方程 "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27864. （2023•爱知中学•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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共享时间:2024-01-30 难度:1 相似度:1.13

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963. （2016•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=

米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

共享时间:2016-07-11 难度:5 相似度:1.13

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.13

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1087. （2020•陕西省•真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

共享时间:2020-07-30 难度:3 相似度:1.13

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.13

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1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.13

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6044. （2017•铁一中学•模拟）小敏在研究最值问题时遇到了这样的一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AD、AB、BC、CD上，则四边形EFGH的周长是否存在最小值？她决定按照老师讲的由特殊到一般逐步化归的思路去研究，请你帮助她完成下面的探究过程．
探究1：如图2，在AF=2，DH=5的条件下，请在图2中画出周长最小的四边形EFGH，并求出周长的最小值；
探究2：在探究1的启发下，小敏画出了图3：作F关于AD的对称点F₁，作F关于BC的对称点F₂，作F₁关于CD的对称点F₃，连接F₂F₃交CD于H，交BC于点G，连接F₁H交AD于E，连接EF、FG，借助图3，他发现四边形EFGH的周长有最小值，并顺利解决了遇到的这个问题．请求出四边形EFGH的周长的最小值．
拓广探究：解决了上述问题后，小敏又想到了新的问题，当四边形EFGH的周长最小时，四边形EFGH的面积是否存在最大值？请帮助小敏解决这个问题，若存在，请求出此时面积的最大值，若不存在请说明理由．
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共享时间:2017-05-30 难度:5 相似度:0.98

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441. （2016•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是　　．
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:0.92

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23871. （2020•益新中学•九上期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP，DE交于点G，AP，CD交于点F．
（1）求证：AD•CF=CP•DF．
（2）若DF=2CF，AB=6，求DG的长．
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共享时间:2021-03-28 难度:4 相似度:0.92

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23284. （2021•师大附中•九上期中）问题探究
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作∠CDF=∠ABC，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是；
问题解决
（2）如图2，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中∠BAC=90°，∠ABC与∠ADC互余，AB=2AC，AD=100m，CD=70m，求BD的长．
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共享时间:2021-11-26 难度:5 相似度:0.92

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782. （2019•陕西省•暑假）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:0.92

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807. （2015•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:0.92

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24844. （2022•南靖县星光中学并入船中•八下期中）将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，能够解决很多几何问题．
（1）如图1，直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上的一点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接DF．若AD=2，BD=1，则CD= ；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是16，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，求四边形ABCD的面积．
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共享时间:2022-05-25 难度:4 相似度:0.92

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226. （2020•南靖县星光中学并入船中•模拟）（1）如图1，在△ABC内有一点D，且AD＝BD＝CD，若∠BAC＝40°，则∠DBC＝　．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝5

，作线段CD＝3，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE、AD、BE．求证：△ACD≌△BCE；
（3）在（2）的条件下，设AD、BE所在直线交于点Q（如图3），求△ABQ面积的最小值．

共享时间:2021-01-06 难度:5 相似度:0.88

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6345. （2017•永春三中•模拟）（1）如图①，已知BD为矩形ABCD的对角线，请作出点A到BD最短距离．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，矩形EMQG为△ABC的一个内接矩形，EG交DB于点F，过点F作AN⊥BC于点N，延长GE交DC于点P，则四边形PCNF的面积与四边形EMQG的面积有什么关系？请说明理由．
（3）如图③，在△ABC，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，矩形EMQG是△ABC的一个内接矩形（点M、Q在边BC上，点E、G分别在边AC、AB上）．请在图③中画出对角线MG最短的矩形EMQG，请说明理由，并求出此时MG的长．
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共享时间:2017-06-08 难度:5 相似度:0.88

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gxyz515

2017-06-20

初中数学 | 解答题

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2017年陕西省西安市高新一中中考数学四模试卷

更新:2017-06-20 06:23浏览量:447

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