如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分&ang;BAC，&ang;ABC的平分线BM 交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．

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20184. （2021•漳州双语实验学校•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．

共享时间:2021-06-03 难度:4

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[考点]

等腰三角形的性质勾股定理圆周角定理切线的判定与性质

[答案]

答案详见解答

[解析]

（1）证明：连接OM，如图1，

∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM＝∠CBM，
∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠OMB，
∴∠CBM＝∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：连接FM，设⊙O的半径为r，

∵AB＝AC＝12，AE是∠BAC的平分线，
∴BE＝CE＝

BC＝4，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴

，
即

，
解得r＝3，
∴BF＝6，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠FMB＝90°，
∴∠FMB＝∠MEB＝90°，
∵∠FBM＝∠MBE，
∴△FMB∽△MEB，
∴

，
∴BM²＝BF•BE＝6×4，
∴BM＝2

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,切线的判定与性质",属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

原创声明：

本题解析属于发布者原创，非正常渠道不可私用，违者必究！

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

26018. （2024•铁一中学•三模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE=OA，BC=4，AB=5，求OE的长度．
$德优题库$

共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:1.75

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4687. （2013•广安市•真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE＝

，求BF的长．

共享时间:2018-06-25 难度:4 相似度:1.5

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2895. （2019•永春华侨中学•模拟）如图，PB为⊙O的切线，B为切点．过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若

，且OC＝4，求PA的长．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:1.5

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27755. （2023•石狮市石光中学•九上二月）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为

的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DA=9，DC=3，求⊙O的半径长．
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共享时间:2023-10-10 难度:2 相似度:1.5

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26032. （2024•交大附中•一模）如图，AE是⊙O的直径，弦CB与AE交于点F，过点A的切线交CB的延长线于点D，点B是DF的中点．
（1）求证：∠AFB=∠C；
（2）若⊙O的半径为4，AB=5，求AF．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:1.35

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26014. （2024•西工大附中•二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若AC=9

，BC=3

，求CD的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:2 相似度:1.35

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26012. （2024•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，延长BA交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若AF=6，tanB＝

，求⊙O的半径．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:1.35

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19061. （2016•石狮市石光中学•模拟）如图，四边形ABDC内接于⊙O，AB＝AC，且AB∥CD、过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE＝12，CD＝10，求⊙O半径的长．

共享时间:2016-06-21 难度:4 相似度:1.18

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26010. （2024•西工大附中•三模）如图，AB为⊙O直径，点C为圆上一点D是

的中点，连接BD交AC于点F，过A作⊙O的切线交BD的延长于点G．
（1）求证：DG=DF；
（2）若DG=2，tan∠ABG=

，求BC的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:3 相似度:1.17

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26015. （2024•滨河中学•七模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED=EG；
（2）若AB＝4

，OG=2，求⊙O的半径．
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23009. （2021•高新一中•八上期中） $德优题库$ 已知等腰三角形ABC的底边BC=2

cm，D是腰AB上一点，且CD=4cm，BD=2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:1.17

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4537. （2018•石狮市石光中学•模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于点E，D是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC=4，AC=8，求CE的长．
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共享时间:2018-06-06 难度:4 相似度:1.17

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26013. （2024•西工大附中•四模）如图，AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上AB异侧的两点，连接DC交AB于点F，点E在DC延长线上，连接BE，∠CBE=∠BDC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若点C为EF的中点，BC=6，⊙O的半径为5．求AF的长．
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3143. （2018•滨河中学•真题）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，tanB＝

，求⊙O的半径．
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共享时间:2019-05-31 难度:3 相似度:1.17

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26024. （2024•滨河中学•五模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
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