如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．br /> （1）求证：DE&perp;AC；br /> （2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．br /> img alt="德优题库" src="/math/image/2024-05-30/1f07e8a86adcac8b757b79a0a05b0280.png

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26024. （2024•滨河中学•五模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
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共享时间:2024-04-05 难度:4

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[考点]

等腰三角形的性质勾股定理矩形的判定与性质

[答案]

见试题解答内容

[解析]

（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；

（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x.
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10-x,OH=DE=8-（10-x）=x-2．菁优网

在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH²+OH²=OA²，即x²+（x-2）²=10²，
解得x₁=8，x₂=-6（不合题意，舍去）．
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=

AF，
∴AF=2AH=2×8=16．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质,勾股定理,矩形的判定与性质"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23009. （2021•高新一中•八上期中） $德优题库$ 已知等腰三角形ABC的底边BC=2

cm，D是腰AB上一点，且CD=4cm，BD=2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:1.34

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20184. （2021•漳州双语实验学校•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．

共享时间:2021-06-03 难度:4 相似度:1.17

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26012. （2024•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，延长BA交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若AF=6，tanB＝

，求⊙O的半径．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:1.07

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23873. （2020•益新中学•九上期末）如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC=∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP=3，AD=9时，求AQ和CQ的长．
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共享时间:2021-03-28 难度:4 相似度:1.07

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4762. （2017•北京•真题）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.07

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26032. （2024•交大附中•一模）如图，AE是⊙O的直径，弦CB与AE交于点F，过点A的切线交CB的延长线于点D，点B是DF的中点．
（1）求证：∠AFB=∠C；
（2）若⊙O的半径为4，AB=5，求AF．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:1.07

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25709. （2023•陕西省•副题）如图，∠MPN=30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F．
（1）求证：CD=PA；
（2）若PA=4，求EF的长．
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共享时间:2023-07-21 难度:4 相似度:1.07

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19061. （2016•石狮市石光中学•模拟）如图，四边形ABDC内接于⊙O，AB＝AC，且AB∥CD、过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE＝12，CD＝10，求⊙O半径的长．

共享时间:2016-06-21 难度:4 相似度:0.96

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22987. （2021•晋江市南侨中学•九上期中）问题探究：
（1）如图1，已知线段AB=2，AC=4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB=120°．若AC+BD=10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-11-15 难度:5 相似度:0.96

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25783. （2024•高新一中•五模）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
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（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB=20m,点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、FO总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、FO总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．

共享时间:2024-04-20 难度:5 相似度:0.92

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21104. （2021•交大附中•九模）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠A=108°．在BC边上求作一点D，使AD=CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）

共享时间:2021-08-10 难度:3 相似度:0.83

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6061. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=108°，请你利用尺规在BC边上求一点P，使∠APC=108°（不写画法，保留作图痕迹）
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共享时间:2017-05-28 难度:3 相似度:0.83

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25774. （2024•高新一中•五模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
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共享时间:2024-04-20 难度:3 相似度:0.83

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2895. （2019•永春华侨中学•模拟）如图，PB为⊙O的切线，B为切点．过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若

，且OC＝4，求PA的长．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:0.83

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25154. （2022••八下期中）如图，在△ADC中，AD=DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B．CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE=CB．
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．
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共享时间:2022-05-12 难度:2 相似度:0.83

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2024-04-05

初中数学 | 解答题

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2024届中考数学《圆》题位专练-五大模考真题

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