问题探究：br /> （1）如图1，已知线段AB=2，AC=4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/；br /> （2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，求矩形ABCD面积最大值；br /> 问题解决：br /> （3）如图3，在

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22987. （2021•晋江市南侨中学•九上期中）问题探究：
（1）如图1，已知线段AB=2，AC=4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB=120°．若AC+BD=10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
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[考点]

一次函数的性质三角形的面积最值问题勾股定理平行四边形的判定与性质矩形的判定与性质四边形综合题四边形的面积最大值问题

[答案]

（1）4；
（2）32；
（3）存在，

[解析]

解：（1）如图1，作BD⊥AC于点D，设BD＝x，

则S_△_ABC＝

AC•BD＝

×4x＝2x，
∴S_△_ABC随x的增大而增大，
∵BD≤AB，
∴当BD＝AB，即∠A＝90°，x＝2时，S_△_ABC_最大＝2×2＝4，
故答案为：4．
（2）如图2，作BE⊥AC于点E，设BE＝x，

∵四边形ABCD是矩形，且AC+BD＝16，
∴AC＝BD＝8，且OA＝OC＝

AC＝4，OB＝OD＝

BD＝4，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，
∵△AOB、△BOC、△COD及△AOD等底等高，
∴S_△_AOB＝S_△_BOC＝S_△_COD＝S_△_AOD＝

×4x＝2x，
由（1）可知，当BE＝OB，即∠AOB＝90°，x＝4时，S_△_AOB_最大＝2×4＝8，
∴S_矩形_ABCD_最大＝4S_△_AOB_最大＝4×8＝32，
∴矩形ABCD面积的最大值为32．
（3）存在，
如图3，作AF∥BD交CB的延长线于点F，作CE⊥AF于点E，设AC＝x，

∵∠AOB＝120°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AOB＝60°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE＝

AC＝

x，
∴CE＝

＝

x，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AC+BD＝10，
∴AF＝BD＝10﹣x，
∵△ABD与△ABF等底等高，△DBC与△ABC等底等高，
∴S_△_ABD＝S_△_ABF，S_△_DBC＝S_△_ABC，
∴S_四边形_ABCD＝S_△_ABD+S_△_DBC＝S_△_ABF+S_△_ABC＝S_△_AFC，
∵S_△_AFC＝

AF•CE＝

x（10﹣x）＝

（x﹣5）²+

，
∴S_四边形_ABCD＝

（x﹣5）²+

，
∵

（x﹣5）²≤0，
∴

（x﹣5）²+

≤

，
∴当x＝5时，S_四边形_ABCD_最大＝

，
∴四边形ABCD面积的最大值是

．

[点评]

本题考查了"一次函数的性质,三角形的面积最值问题,勾股定理,平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,四边形综合题,四边形的面积最大值问题"，属于"压轴题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27864. （2023•爱知中学•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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共享时间:2024-01-30 难度:1 相似度:1.14

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.14

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1087. （2020•陕西省•真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

共享时间:2020-07-30 难度:3 相似度:1.14

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1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.14

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.14

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20480. （2020•晋江市南侨中学•八模）如图，AB=8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．
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问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为_________；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．

共享时间:2020-07-27 难度:5 相似度:1.03

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21440. （2020•铁一中学•八模）如图，AB＝8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．

问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为　　；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由。

共享时间:2020-07-21 难度:5 相似度:1.03

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26024. （2024•滨河中学•五模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:0.96

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24844. （2022•南靖县星光中学并入船中•八下期中）将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，能够解决很多几何问题．
（1）如图1，直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上的一点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接DF．若AD=2，BD=1，则CD= ；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是16，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，求四边形ABCD的面积．
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共享时间:2022-05-25 难度:4 相似度:0.96

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20161. （2021•西工大附中•四模）问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，若S_△BCE＝4．则矩形ABCD的面积为______．
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝60°，BC边上的中线，AD＝6，求△ABC面积的最大值．
问题解决
（3）为迎接十四运，园林设计部门准备在奥体广场用鲜花拼成一个平行四边形的花卉展览场地供市民观赏．如图③所示，在平行四边形ABCD中，点E为AD边上一点且DE＝3AE，∠BEC＝60°，AB＝6米．为了种植更多的鲜花，要求四边形ABCD的面积尽可能大．请问四边形ABCD面积是否存在最大值？如果存在，请计算四边形ABCD面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2021-05-31 难度:5 相似度:0.96

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23280. （2021•师大附中•九上期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD=3，求OE的长．
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共享时间:2021-11-26 难度:4 相似度:0.96

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6520. （2017••模拟）观察思考：如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB＝CD＝4cm．已知a∥b，a、b间的距离为

cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A₁BC．
（1）当A₁、D两点重合时，则 AC＝　　cm．
（2）当A₁、D两点不重合时，
①连接A₁D，探究A₁D与BC的位置关系，并说明理由．
②若以A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出AC的长．

共享时间:2017-06-20 难度:5 相似度:0.81

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25783. （2024•高新一中•五模）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
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（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB=20m,点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、FO总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、FO总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．

共享时间:2024-04-20 难度:5 相似度:0.81

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23874. （2020•益新中学•九上期末）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC=12，求出矩形DEFG的面积． $德优题库$

共享时间:2021-03-28 难度:5 相似度:0.79

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25106. （2022•晋江市南侨中学•八下期中）问题提出：
（1）如图1，已知线段AB=2，AC=4，连接BC，则三角形ABC面积最大为；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，若CD+BC=10，求四边形ABCD的面积；
问题解决：
（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，AC=8，求四边形ABCD面积的最大值．
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共享时间:2022-05-18 难度:4 相似度:0.79

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tyz510

2021-11-15

初中数学 | 解答题

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2021-2022学年陕西省西安市铁一中学九上数学期中试卷

更新:2021-11-15 02:44浏览量:911

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