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25106. （2022•晋江市南侨中学•八下期中）问题提出：
（1）如图1，已知线段AB=2，AC=4，连接BC，则三角形ABC面积最大为；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，若CD+BC=10，求四边形ABCD的面积；
问题解决：
（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，AC=8，求四边形ABCD面积的最大值．
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[考点]

三角形的面积全等三角形的判定与性质勾股定理四边形综合题

[答案]

（1）4；
（2）四边形ABCD的面积为25；
（3）四边形ABCD面积的最大值是32．

[解析]

解：（1）如图1，作BG⊥AC于点G，菁优网

∵S_△ABC=

AC•BG，AC=4，
∴S_△ABC=

×4BG=2BG，
∴当BG最大时，S_△ABC的值最大，
∵BG≤AB，AB=2，
∴BG≤2，
∴BG的最大值为2，
∴当BG=2时，S_△ABC最大=4，
∴三角形ABC面积最大为4，
故答案为：4. 菁优网

（2）如图2，连接BD，
∵CD+BC=10，
∴（CD+BC）²=100，
∴CD²+BC²+2CD•BC=100，
∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，
∴CD²+BC²=AB²+AD²=BD²，
∴CD²+BC²=2AD²，
∴2AD²+2CD•BC=100，
∴

AD²+

CD•BC=25，
∵S_△ABD=

AD²，S_△CBD=

CD•BC，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=

AD²+

CD•BC=25，
∴四边形ABCD的面积为25．
（3）如图3，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∵∠BAD+∠BCD=180°，菁优网

∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF，
∵∠AEB=∠F=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF，CE=CF，S_△ABE=S_△ADF，
∵∠AEC=∠F=90°，AC=AC，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴S_△ACE=S_△ACF，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABE+S_{四边形AECD}=S_△ADF+S_{四边形AECD}=S_△ACE+S_△ACF=2S_△ACE，
设AE=m,CE=n,则S_{四边形ABCD}=2S_△ACE=2×

AE•CE=mn,
∵AE²+CE²=AC²，AC=8，
∴m²+n²=64，
由（m-n）²≥0得mn≤

（m²+n²），
∴mn≤32，
∴S_{四边形ABCD}≤32，
∴S_{四边形ABCD最大}=32，
∴四边形ABCD面积的最大值是32．

[点评]

此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，运用转化思想正确地表示四边形的面积是解题的关键．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

24844. （2022•南靖县星光中学并入船中•八下期中）将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，能够解决很多几何问题．
（1）如图1，直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上的一点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接DF．若AD=2，BD=1，则CD= ；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是16，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，求四边形ABCD的面积．
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共享时间:2022-05-25 难度:4 相似度:1.75

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4758. （2018••模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.5

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23062. （2021•铁一中学•八上期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5

．
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长．
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共享时间:2021-11-19 难度:4 相似度:1.5

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6239. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.25

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25103. （2022•铁一中学•八下期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE，∠A=30°，求∠DEF的度数．
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共享时间:2022-05-18 难度:3 相似度:1.25

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25804. （2024•西北大附中•一模）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
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共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.25

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25677. （2023•陕西省•真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
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共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.25

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.25

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.25

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．