已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．

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59. （2020•临沂市•真题）已知抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3+2a²（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y₁），Q（3，y₂）在抛物线上，若y₁＜y₂，求m的取值范围．

时间:2020-12-28 难度:3

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[考点]

二次函数的性质

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）∵抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3+2a²＝a（x﹣1）²+2a²﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a²﹣a﹣3＝0，
解得a＝

或a＝﹣1，
∴抛物线为y＝

x²﹣3x+

或y＝﹣x²+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，
则Q（3，y₂）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y₂），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y₁＜y₂；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y₁＜y₂．

[点评]

本题考查了"二次函数的性质二次函数图象的交点问题待定系数法求二次函数 "，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:2

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23085. （2021•高新一中•九上期中）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=x²-4x-1；
（2）y=-2x²-5x+7．

时间:2021-12-03 难度:3 相似度:1.5

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63. （2019•湘潭市•真题）如图一，抛物线y＝ax²+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，

）三点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x₁，y₁）、Q（4，y₂）两点均在该抛物线上，若y₁≥y₂，求P点横坐标x₁的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.33

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68. （2019•永州市•真题）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.33

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848. （2014•陕西省•真题）已知抛物线C：y=﹣x²+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

时间:2021-02-04 难度:3 相似度:1.33

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1144. （2020•陕西省•副题）已知抛物线L：y=-x²+bx+c过点（-3，3）和（1，-5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA=1：4，求满足条件的点P的坐标．
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时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.33

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4763. （2018••模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x²+（3﹣m）x经过点A（﹣2，0）．
（1）将抛物线C沿直线y＝1轴对称的抛物线记为C₁，求抛物线C₁的顶点坐标；
（2）将抛物线C沿直线y＝n轴对称的抛物线记为C₂，设C与C₂的交点记为点M，点N，C的顶点记为F，C₂的顶点记为E，若四边形MFNE中有一个内角等于60°，求C₂的解析式．
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时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.33

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21202. （2019•爱知中学•一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线L₁：y=x²+bx+c经过A（1，0），且与y轴交轴点D（0，3）．
（1）求抛物线L₁的函数表达式；
（2）连接AD，将抛物线L₁绕平面内一个点M旋转180°得到抛物线L₂，其中A的对应点为C，D的对应点为B，若四边形ABCD是面积为20的矩形，求抛物线L₂的函数表达式．
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时间:2021-10-16 难度:4 相似度:1.33

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71. （2019•自贡市•期末）如图，已知抛物线y＝ax²+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.25

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25627. （2023•爱知中学•二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m,此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m,在水面以上的桥墩AO，BC都为2m.以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
$德优题库$
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m,遮阳棚宽12m,问此船能否通过桥洞？请说明理由．

时间:2024-01-24 难度:2 相似度:1.25

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23089. （2021•高新一中•九上期中）某次数学活动时，数学兴趣小组成员小明研究函数y=-

（x-2）²+|x-2|+3的图象和性质．
（1）如表是该函数y与自变量x的几组对应值：

x	…	-2	0	1	2	3	4	6	…
y	…	-1	m	3.5	3	n	3	-1	…

其中，m的值为        ，n的值为        ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；
（3）根据函数图象回答下列问题；
①该图象的对称轴为：       ；
②该函数的增减性为：当        时，y随x的增大而增大，当        时，y随x的增大而减少；
③该函数的最值为：当x=       时，函数取得最大值，且最大值为        ．
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时间:2021-12-03 难度:4 相似度:1.25

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

时间:2021-10-25 难度:4 相似度:1.25

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24638. （2022•陕西省•真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

时间:2022-06-22 难度:4 相似度:1.2

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20480. （2020•晋江市南侨中学•八模）如图，AB=8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．
$德优题库$
问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为_________；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．

时间:2021-09-06 难度:5 相似度:1.2

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19854. （2021•陕西省•真题）已知抛物线y＝﹣x²+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-06-24 难度:4 相似度:1.2

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亦世凡华

2020-12-26 14:44

初中数学 | 解答题

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二次函数压轴题型采集卷

更新:2020-12-28 11:10浏览量:2001

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