现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．  

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24638. （2022•陕西省•真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

共享时间:2022-06-21 难度:4

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[考点]

一元二次方程求二次函数的解析式二次函数的性质二次函数图像上点的坐标特征二次函数的应用题

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）²+9，
把（0，0）代入，可得a＝﹣

，
∴抛物线的解析式为y＝﹣

（x﹣5）²+9；

（2）令y＝6，得﹣

（x﹣5）²+9＝6，
解得x₁＝

+5，x₂＝﹣

+5，
∴A（5﹣

，6），B（5+

，6）．

[点评]

本题考查了"一元二次方程 ,求二次函数的解析式,二次函数的性质,二次函数图像上点的坐标特征,二次函数的应用题",属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

25710. （2023•陕西省•副题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB=BN=NC=CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；
方案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′=B′C′=C′M，点A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
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共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:1.6

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21439. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.47

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21111. （2021•石狮市石光中学•九模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y=

x²+bx+c与x轴交于A（-4，0）、B两点，且过点C（0，-2）．抛物线W₂与抛物线W₁关于原点对称，点C在W₂上的对应点为C′．
（1）求抛物线W₁的表达式；
（2）写出抛物线W₂的表达式；
（3）若点P在抛物线W₁上，试探究：在抛物线W₂上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:1.3

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.2

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25782. （2024•高新一中•五模）某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）与飞行高度y（单位：m）的部分对应数值如表．

飞行水平距离x/m	0	20	30	50	80	…
飞行高度y/m	0	40	54	70	64	…

根据上面的信息，解决下列问题：
（1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM=125m,MN=5m,若飞机能落到回收区域MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
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共享时间:2024-04-20 难度:4 相似度:1.2

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781. （2019•陕西省•副题）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:1.2

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19854. （2021•陕西省•真题）已知抛物线y＝﹣x²+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-25 难度:4 相似度:1.2

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19121. （2016•永春华侨中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.1

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4763. （2018••模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x²+（3﹣m）x经过点A（﹣2，0）．
（1）将抛物线C沿直线y＝1轴对称的抛物线记为C₁，求抛物线C₁的顶点坐标；
（2）将抛物线C沿直线y＝n轴对称的抛物线记为C₂，设C与C₂的交点记为点M，点N，C的顶点记为F，C₂的顶点记为E，若四边形MFNE中有一个内角等于60°，求C₂的解析式．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.07

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68. （2019•永州市•真题）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.07

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25627. （2023•爱知中学•二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m,此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m,在水面以上的桥墩AO，BC都为2m.以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
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（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m,遮阳棚宽12m,问此船能否通过桥洞？请说明理由．

共享时间:2023-04-28 难度:2 相似度:0.9

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:0.9

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20155. （2021•漳州双语实验学校•四模）如图，抛物线C₁：y＝x²﹣2x﹣8与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点O为坐标原点，D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，过D、E、F三点的抛物线记为C₂．
（1）求抛物线C₂的表达式，并判断抛物线C₂是否可以由抛物线C₁平移得到？
（2）点P为抛物线C₁上任意一点，连接OP，取线段OP的中点Q．求证：点Q在抛物线C₂上．

共享时间:2021-05-31 难度:4 相似度:0.9

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6494. （2017••模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在点Q使△BCQ的面积最大，若存在，请求出点Q坐标．

共享时间:2017-06-23 难度:4 相似度:0.8

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25810. （2024•西北大附中•一模）如图，抛物线y＝

x2−

x−3的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2024-03-13 难度:4 相似度:0.8

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竹黎

2022-06-21

初中数学 | 解答题

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2022年陕西省中考数学试卷（A）

更新:2022-06-21 02:50浏览量:1925

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