如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD=CD，过点A作⊙O的切线交OB的延长线于点E．br /> （1）求证：AB平分&ang;DAE；br /> （2）若BD=3，AD=6，求AE的长．br /> img alt="德优题库" src="/math/image/2024-05-30/26ce26a07df2fed8f3383afffc46128a.png" style=&q

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26028. （2024•高新一中•二模）如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD=CD，过点A作⊙O的切线交OB的延长线于点E．
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若BD=3，AD=6，求AE的长．
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时间:2024-05-30 难度:4

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[考点]

互余关系勾股定理锐角三角函数的性质垂径定理圆周角定理三角形的外接圆与外心

[答案]

（1）证明见解答；
（2）AE的长为10．

[解析]

（1）证明：连接OA，则OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，菁优网

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∵AE与⊙O相切于点A，
∴AE⊥OA，
∴∠EAO=90°，
∵AD=CD，
∴OB⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠OBA=90°，
∵∠EAB+∠OAB=∠EAO=90°，
∴∠EAB=∠DAB，
∴AB平分∠DAE．
（2）解：∵∠ADO=90°，
∴AD²+OD²=OA²，
∵BD=3，AD=6，
∴OD=OB-3=OA-3，
∴6²+（OA-3）²=OA²，
解得OA=

，
∴OD=

-3=

，
∴tan∠AOE=

=

=

=

，
∴AE=

OA=

×

=10，
∴AE的长为10．

[点评]

本题考查了"互余关系,勾股定理,锐角三角函数的性质,垂径定理,圆周角定理,三角形的外接圆与外心"，属于"典型题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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26030. （2024•滨河中学•二模）如图，AB是⊙O的直径，在⊙O上取点C，在半径OB上取点D（不与点A，O重合），使AD=AC．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点E，CE交⊙O于点F．
（1）求证：BC=BE；
（2）连接BF，若tanE=

，OD=1，求BF的长．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:1.1

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20478. （2020•铁一中学•八模） $德优题库$ 如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P=

，CF=5，求BE的长．

时间:2021-09-06 难度:4 相似度:1

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26015. （2024•滨河中学•七模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED=EG；
（2）若AB＝4

，OG=2，求⊙O的半径．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:1

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26027. （2024•交大附中•二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=60°，弦BD交AC于点E，且AE=DE．
（1）求证：△EBC是等边三角形；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=3，EG=2，求AB的长．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:1

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21438. （2020•铁一中学•八模）如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝

，CF＝5，求BE的长．

时间:2021-10-21 难度:4 相似度:1

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26021. （2024•铁一中学•四模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点F，交△ABC外接圆⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC延长线上点D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若CE=6，DE=8，求AF的长．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:1

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26019. （2024•铁一中学•一模）如图，AB是⊙O的直径，点C和点E在⊙O上，AC平分∠EAB，过点C作AE所在直线的垂线，垂足为点D，CD交AB的延长线于点P．
（1）求证：⊙O与PD相切．
（2）若AC＝2

，⊙O半径是3，求DE的长．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:0.88

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21201. （2019•爱知中学•一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB于点G，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，连接CE，交AB于点F．
（1）求证：PC=PF．
（2）若CF=12，PG=13，且tan∠PCF=

，求⊙O的半径．

时间:2021-10-16 难度:3 相似度:0.83

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21714. （2021•石狮市石光中学•七模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作半圆O，与BC交于点E，过点E作半圆O的切线交AC于点D．
（1）求证：∠C＝∠DEC；
（2）若∠C＝30°，CE＝8

，求BE的长．

时间:2021-10-25 难度:4 相似度:0.83

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25809. （2024•西北大附中•一模）如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点D作⊙O的切线DE，过点B作DE的垂线BC，交DE于点E，交AD的延长线于点C，延长CB，交⊙O于点F．
（1）求证：∠A=∠C；
（2）若BE=BF=6，求DE的长．
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时间:2024-05-13 难度:4 相似度:0.83

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25998. （2024•西工大附中•四模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A=34°，请利用尺规作图法，在弧AC上求作点D使得∠AOD=56°．（保留作图痕迹，不写作法）
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时间:2024-05-30 难度:2 相似度:0.83

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23920. （2022•高新一中•二模）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tan∠BAC=

，求DE的长．
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时间:2022-03-30 难度:4 相似度:0.83

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26026. （2024•高新一中•四模）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC=2∠BCP，点E是

的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF=3，求⊙O直径的长．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:0.83

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19853. （2021•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且

＝2

，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

时间:2021-06-24 难度:4 相似度:0.73

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25781. （2024•高新一中•五模）如图,在 Rt

中,

是

外接圆的切线,D在圆上. 延长CB交DE于点F,且CF

DE,连接AD.
(1) 求证:DF=

AC
(2) 若

外接圆的半径为5,

=2求BF的长.

时间:2024-04-30 难度:4 相似度:0.73

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2024-05-30 15:41

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