如图，△ABC内接于⊙O，&ang;BAC=45&deg;，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF&perp;AC，垂足为M，交⊙O于点F．br /> （1）求证：BD=BC；br /> （2）若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段BF的长．br /> img alt="德优题库" src="/math/image/2024-02-19/449c8e48027304fe9

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25683. （2023•陕西省•真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD=BC；
（2）若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段BF的长．
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共享时间:2023-07-20 难度:3

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[考点]

等腰三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质解直角三角形圆周角定理三角形的外接圆与外心

[答案]

（1）见解析；
（2）2

．

[解析]

（1）证明：如图，连接DC，
则∠BDC=∠BAC=45°，
∵BD⊥BC，
∴∠BCD=90°-∠BDC=45°，
∴∠BCD=∠BDC．
∴BD=BC；
（2）解：如图，∵∠DBC=90°，
∴CD为⊙O的直径，
∴CD=2r=6．
∴BC=CD•sin∠BDC＝6×

，
∴EC=

，
∵BF⊥AC，
∴∠BMC=∠EBC=90°，∠BCM=∠BCM，
∴△BCM∽△ECB．
∴

＝

，
∴BM=

，CM=

＝

，
连接CF，则∠F=∠BDC=45°，∠MCF=45°，
∴MF=MC=

，
∴BF=BM+MF=2

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,圆周角定理,三角形的外接圆与外心"，属于"典型题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

26035. （2024•滨河中学•三模）如图，在以AB为直径的⊙O中，点D，E在⊙O上，连接AD，DE，BE，过点A作AC∥BE交BD的延长线于点C，∠C=∠ADE．
（1）求证：AB=BC；
（2）若tanC=3，BD=6，求DE的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:1.6

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26025. （2024•滨河中学•四模）如图，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D，点E是⊙O上一点，

，延长AE与DC的延长线交于点F，AG、BG是⊙O的弦，AG=AE．
（1）求证：AF⊥DF；
（2）若AG=6，BG=8，求线段DF的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:2 相似度:1.4

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26017. （2024•滨河中学•六模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠ABE=2∠A；
（2）若tanA＝

，BD=4，求BE的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:2 相似度:1.4

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23920. （2022•高新一中•二模）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tan∠BAC=

，求DE的长．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.35

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2770. （2020•永春华侨中学•模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AF＝2，AE＝EF＝

，求OA的长．
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共享时间:2020-06-26 难度:3 相似度:1.35

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25685. （2023•陕西省•真题）（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
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共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.2

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26030. （2024•滨河中学•二模）如图，AB是⊙O的直径，在⊙O上取点C，在半径OB上取点D（不与点A，O重合），使AD=AC．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点E，CE交⊙O于点F．
（1）求证：BC=BE；
（2）连接BF，若tanE=

，OD=1，求BF的长．
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26023. （2024•交大附中•三模）如图，⊙O是四边形ACBD的外接圆，AB为⊙O的直径，DE⊥BC交CB的延长线于点E，且DE为⊙O的切线．
（1）求证：∠DBA=∠EBD；
（2）若tan∠ABD=2，⊙O半径为

，求CE的长．
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25803. （2024•西北大附中•一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinB＝

，AB=10，点D是AB边上一点，连接CD，且BC=BD．求BD的长．
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共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.2

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26020. （2024•铁一中学•五模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O为BC边上一点，已知⊙O过点B且经过AC边上的点D，AD=AB．连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若tan∠AED＝

，CD=2，求⊙O的半径．
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26034. （2024•西工大附中•三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE=2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）若DH=9，tanC=

，求半径OA的长．
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26021. （2024•铁一中学•四模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点F，交△ABC外接圆⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC延长线上点D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若CE=6，DE=8，求AF的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:1.1

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26029. （2024•西工大附中•四模）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．
（1）求证：∠DBC=∠DCE；
（2）若AB=8，sinD=

，求BE的长．
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26013. （2024•西工大附中•四模）如图，AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上AB异侧的两点，连接DC交AB于点F，点E在DC延长线上，连接BE，∠CBE=∠BDC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若点C为EF的中点，BC=6，⊙O的半径为5．求AF的长．
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6518. （2015•东营市•真题）已知在△ABC中，∠B＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD＝AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．

共享时间:2017-06-20 难度:3 相似度:1.07

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dyczsx2023

2023-07-20

初中数学 | 解答题

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2023年陕西省中考数学试卷（A卷）

更新:2023-07-20 04:17浏览量:716

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