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69. (2019•合肥市•模拟) 如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是边长为5的菱形,顶点ACD均在坐标轴上,sinB
(1)求过ACD三点的抛物线的解析式;
(2)记直线AB的解析式为y1mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2ax2+bx+c,求当y1y2时,自变量x的取值范围;
(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为EP点为抛物线上AE两点之间的一个动点,且直线PEx轴于点F,问:当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.
                                                                                                                                               
[考点]
待定系数法求一次函数解析式   抛物线与x轴的交点   二次函数的几何最值问题   直角三角形的性质   菱形的性质   
[答案]
详见解析
[解析]
解:(1)∵四边形ABCD是边长为5的菱形,
ABADCDBC=5,sinB=sinD
Rt△OCD中,OCCD•sinD=4,OD=3;OAADOD=2,
即:A(﹣2,0)、B(﹣5,4)、C(0,4)、D(3,0);
设抛物线的解析式为:yax+2)(x﹣3),得:2×(﹣3)a=4,a=﹣
∴抛物线:y=﹣x2+x+4①;

(2)由A(﹣2,0)、B(﹣5,4)得直线ABy1=﹣x
由(1)得:y2=﹣x2+x+4,则
解得
由图可知:当y1y2时,x<﹣2或x>5;

(3)∵SAPEAEh
∴当P到直线AB的距离最远时,SAPE最大;
若设直线lAB,则直线l与抛物线有且只有一个交点时,该交点即为点P
设直线ly=﹣x+b,当直线l与抛物线有且只有一个交点时,
则﹣x+b=﹣x2+x+4,即2x2﹣6x+3b﹣12=0,
△=36﹣8(3b﹣12)=0,解得:b
即直线ly=﹣x+②;
联立①②并解得:x1x2,故点P).
由(2)得:E(5,﹣),则直线PEy=﹣x+9;
PEx轴的交点F的坐标为(,0),
AFOA+OF
∴△PAE的最大值为SPAESPAF+SAEF××(+)=
综上所述,当P)时,△PAE的面积最大,最大面积为
[点评]
本题考查了"待定系数法求一次函数   二次函数的几何最值问题   待定系数法求二次函数   抛物线与x轴的交点   直角三角形的性质   菱形的性质   ",属于"综合题",熟悉知识点是解题的关键
71. (2019•自贡市•期末) 如图,已知抛物线yax2+4x+c经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点,其对称轴与x轴交于点C
(1)求该抛物线和直线BC的解析式;
(2)设抛物线与直线BC相交于点D,求△ABD的面积;
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAB的周长最小?若存在,求出Q点的坐标及△QAB最小周长;若不存在,请说明理由.
                                                                                                                                                 
时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.35
62. (2017•北京市•真题) 在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx2﹣4x+3与x轴交于点AB(点A在点B的左侧),与y轴交于点C
(1)求直线BC的表达式;
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点Px1y1),Qx2y2),与直线BC交于点Nx3y3),若x1x2x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.
时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.2
509. (2018•陕西省•副题) )已知抛物线Lymx28x+3mx轴相交于AB(﹣10)两点,并与y轴相交于点C.抛物线L′与L关于坐标原点对称,点ABL′上的对应点分别为A′、B
1)求抛物线L的函数表达式;
2)在抛物线L′上是否存在点P,使得△PA'A的面积等于△CB'B的面积?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
时间:2021-01-08 难度:5 相似度:1.2
75. (2020•呼伦贝尔市•真题) 如图,抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于点A(﹣1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C,连接BC,点P是线段BC上的动点(与点BC不重合),连接AP并延长AP交抛物线于点Q,连接CQBQ,设点Q的横坐标为m
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)当△BCQ的面积等于2时,求m的值;
(3)在点P运动过程中,是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
                                                                                                                                             
时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.07
76. (2020•陕西省•同步) 在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx﹣3过点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线CD上的一个动点,连接BC
①如图1,是否存在点P,使∠PBC=∠BCO?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②如图2,点Px轴上方,连接PA交抛物线于点N,∠PAB=∠BCO,点M在第三象限抛物线上,连接MN,当∠ANM=45°时,请直接写出点M的坐标.
时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.07
67. (2019•自贡市•期末) 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1.0).B(5,0)两点,与y轴交于点C
(1)求地物线的解析式;
(2)在地物线的对称轴上找一点M.使得MA+MC最小,请求出点M的坐标;
(3)在直线BC下方抛物线上是否存在点P,使得△PBC的面积最大?若存在.请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
                                                                                                                                                   
时间:2020-12-26 难度:4 相似度:0.9
74. (2020•东营市•真题) 如图,抛物线yax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C(0,2),交x轴于点AB(点A在点B左侧),连接BC,直线ykx+1(k>0)与y轴交于点D,与BC上方的抛物线交于点E,与BC交于点F
(1)求抛物线的解析式及点AB的坐标;
(2)是否存在最大值?若存在,请求出其最大值及此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
                                                                                                                                                
时间:2020-12-26 难度:3 相似度:0.8
25990. (2024•高新三中•四模) 德优题库如图9,已知四边形ABCD是菱形,且∠ABC=56°,请用尺规作图法,在BC上找一点E,使∠BAE=31°.(保留作图痕迹,不写作法)
时间:2024-05-30 难度:2 相似度:0.7
22436. (2021•师大附中•九上一月) 德优题库已知:如图,在菱形ABCD中,E、F分别是边AB和BC上的点,且∠ADE=∠CDF,求证:BE=BF.
时间:2021-11-15 难度:3 相似度:0.7
21108. (2021•交大附中•九模) 为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价格如表所示:
每月用气量 单价(元/m3
不超出75m3的部分 2.5
超出75m3不超出125m3的部分 2.75
超出125m3的部分 3
(1)若调价后每月支出的燃气费为y(元),每月的用气量为x(m3),y与x之间的关系如图所示,求线段AB所表示的y与x之间的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,若乙用户3月份用气80m3,应缴费多少元?
时间:2021-10-12 难度:3 相似度:0.7
24635. (2022•陕西省•真题) 如图,是一个“函数求值机”的示意图,其中yx的函数.下面表格中,是通过该“函数求值机”得到的几组xy的对应值.
输入x ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2
输出y ﹣6 ﹣2 2 6 16
根据以上信息,解答下列问题:
(1)当输入的x值为1时,输出的y值为    
(2)求kb的值;
(3)当输出的y值为0时,求输入的x值.
时间:2022-06-22 难度:3 相似度:0.7
6341. (2017•永春三中•模拟) 我省某市为了缓解雾霾天气带来的危害,市绿化管理处派出洒水车为全市主干道进行洒水,以减缓雾霾天气对市民健康和出行带来的影响,每天的洒水量与投入的成本相应数据如下表:
洒水量x(千克) 5000 6000 8000 10000
成本y(元) 300 324 372 420
(1)对上表中的数据分析探究后,发现投入的成本y(元)是洒水量x(千克)的一次函数,请你求出这个一次函数的关系式(不必写出自变量的取值范围).
(2)由于近期雾霾严重,某天的洒水量是24000千克,则当天投入的成本是多少元?
时间:2021-03-20 难度:3 相似度:0.7
25775. (2024•高新一中•五模) 已知:如图,菱形ABCD中,点E,F分别在AB,AD边上,AE=AF,连接CE,CF.求证:∠AEC=∠AFC.
德优题库
时间:2024-04-30 难度:2 相似度:0.7
23183. (2021•西工大附中•八上期中) 如图,直线l1与x轴交于点A(-6,0),与直线l2相交于点C(m,m),直线l2与x轴交于点B.已知直线l2的函数表达式为y=-x+6.
(1)求直线l1的函数表达式.
(2)P是直线l1上的一个动点,当△ABP的面积为6时,求点P的坐标.
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时间:2021-12-09 难度:4 相似度:0.7
1000. (2018•陕西省•真题) 已知抛物线L:y=x2+x﹣6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标,并求△ABC的面积;
(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L′,且L′与x轴相交于A'、B′两点(点A′在点B′的左侧),并与y轴相交于点C′,要使△A'B′C′和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.
时间:2021-02-08 难度:4 相似度:0.7

亦世凡华

2020-12-26 15:58

初中数学 | 解答题

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