已知抛物线y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D．（1）试确定a的值，并直接写出D点的坐标．（2）试在x轴上求一点P，使得△PCD的周长取最小值．（3）若被抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，所得新抛物线的顶点记作D′，点A的对应点记作A′，与原抛物线的交点记作E，则是否存在一个m的值，使△A′BE的面积与△A′BD′的面积比为，且点O、E、D′在同

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6118. （2017•漳州双语实验学校•模拟）已知抛物线y＝a（x﹣1）²﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D．
（1）试确定a的值，并直接写出D点的坐标．
（2）试在x轴上求一点P，使得△PCD的周长取最小值．
（3）若被抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，所得新抛物线的顶点记作D′，点A的对应点记作A′，与原抛物线的交点记作E，则是否存在一个m的值，使△A′BE的面积与△A′BD′的面积比为

，且点O、E、D′在同一条直线上？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

时间:2021-03-20 难度:4

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[考点]

二次函数的性质二次函数与平移问题二次函数综合应用轴对称-最短路线问题将军饮马问题

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：∵点C（0，﹣2）在抛物线y＝a（x﹣1）²﹣3上，
∴a﹣3＝﹣2，
∴a＝1，D（1，﹣3）；

（2）如图1，∵CD是定值，△PCD的周长要最小，
∴PC+PD最小，
作点C关于x轴的对称点C'连接C'D，交x轴于P，
即：点P为所求作的点；

（3）存在，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）²﹣3，
如图1，
由（1）知，抛物线y＝（x﹣1）²﹣3，
由平移的性质得，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣m）²﹣3，
过点D'作D'G⊥x轴于G，
∴D'G＝3，
过点E作EF⊥x轴于F，
∵△A′BE的面积与△A′BD′的面积比为

，
∴EF＝

D'G＝2，
∴点E的纵坐标为﹣2，
∵点E在抛物线y＝（x﹣1）²﹣3上，
∴（x﹣1）²﹣3＝﹣2，
∴x＝0（舍）或x＝2，
∴E（2，﹣2），
∵点E也在平移后的抛物线y＝（x﹣1﹣m）²﹣3，
∴（2﹣1﹣m）²﹣3＝﹣2，
∴m＝0（舍）或m＝2．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用轴对称-最短路线问题将军饮马问题二次函数与平移问题二次函数的性质 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.2

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1051. （2019•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax²+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．

时间:2021-03-01 难度:5 相似度:1.2

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474. （2017•陕西省•副题）如图，已知抛物线L：y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S_△_ABC＝2S_△_OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-01-08 难度:5 相似度:1.2

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809. （2015•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x²+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．

时间:2021-02-03 难度:4 相似度:1.2

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81. （2020•陕西省•模拟）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.2

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880. （2013•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表达式可表示为y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）]．

时间:2021-02-05 难度:3 相似度:1.2

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78. （2020•海南省•真题）抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.2

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359. （2012•陕西省•真题）如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是　　三角形；
（2）若抛物线y=﹣x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x²+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

时间:2021-01-06 难度:5 相似度:1.2

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1093. （2020•陕西省•真题）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

时间:2021-03-04 难度:4 相似度:1.2

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440. （2016•陕西省•副题）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，点A（2，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-01-07 难度:5 相似度:1.2

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63. （2019•湘潭市•真题）如图一，抛物线y＝ax²+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，

）三点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x₁，y₁）、Q（4，y₂）两点均在该抛物线上，若y₁≥y₂，求P点横坐标x₁的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.07

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1144. （2020•陕西省•副题）已知抛物线L：y=-x²+bx+c过点（-3，3）和（1，-5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA=1：4，求满足条件的点P的坐标．
$德优题库$

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.07

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

时间:2021-10-25 难度:4 相似度:0.9

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4688. （2018•石狮市石光中学•模拟）已知，抛物线L：y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B（-3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L的顶点坐标和A点坐标．
（2）如何平移抛物线L得到抛物线L₁，使得平移后的抛物线L₁的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称？
（3）将抛物线L平移，使其经过点C得到抛物线L₂，点P（m，n）（m＞0）是抛物线L₂上的一点，是否存在点P，使得△PAC为等腰直角三角形？若存在，请直接写出抛物线L₂的表达式；若不存在，请说明理由．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:0.8

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6244. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知：抛物线y＝ax²+bx+3经过点P（1，4）和点Q（2，﹣3）．
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况．
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形．请你写出平移过程，并说明理由．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:0.8

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xgd513

2021-03-20 16:21

初中数学 | 解答题

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2017年陕西省西安市西工大附中中考数学六模试卷

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