抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧． ①如图1，过点P作PD&perp;x轴于点D，作PE&perp;y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长； ②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得&ang;ACP＝&ang;OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．

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78. （2020•海南省•真题）抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．

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二次函数综合应用

[答案]

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[解析]

解：（1）∵抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴

，
解得：

，
∴抛物线解析式为：y＝x²+x﹣6；
（2）①设点P（a，a²+a﹣6），
∵点P位于y轴的左侧，
∴a＜0，PE＝﹣a，
∵PD＝2PE，
∴|a²+a﹣6|＝﹣2a，
∴a²+a﹣6＝﹣2a或a²+a﹣6＝2a，
解得：a₁＝

，a₂＝

（舍去）或a₃＝﹣2，a₄＝3（舍去）
∴PE＝2或

；
②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，
理由如下，
∵抛物线y＝x²+x﹣6与x轴交于点C，
∴点C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∵点B（2，0），点A（﹣3，0），
∴OB＝2，OA＝3，
∴BC＝

＝

＝2

，
AC＝

＝

＝3

，
如图，过点A作AH⊥CP于H，

∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，
∴△ACH∽△BCO，
∴

，
∴

＝

，
∴AH＝

，HC＝

，
设点H（m，n），
∴（

）²＝（m+3）²+n²，（

）²＝m²+（n+6）²，
∴

或

，
∴点H（﹣

，﹣

）或（﹣

，

），
当H（﹣

，﹣

）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，
∴x²+x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x₁＝﹣2，x₂＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；
当H（﹣

，

）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，
∴x²+x﹣6＝﹣7x﹣6，
解得：x₁＝﹣8，x₂＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣8，50）；
综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．

[点评]

本题考查了"待定系数法求二次函数二次函数综合应用 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

880. （2013•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表达式可表示为y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）]．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:2

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359. （2012•陕西省•真题）如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是　　三角形；
（2）若抛物线y=﹣x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x²+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-07-03 难度:5 相似度:2

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1093. （2020•陕西省•真题）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2020-07-30 难度:4 相似度:2

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1051. （2019•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax²+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:2

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809. （2015•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x²+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．

共享时间:2015-08-18 难度:4 相似度:2

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440. （2016•陕西省•副题）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，点A（2，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:2

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474. （2017•陕西省•副题）如图，已知抛物线L：y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S_△_ABC＝2S_△_OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:2

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81. （2020•陕西省•模拟）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:2

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82. （2020•潍坊市•真题）如图，抛物线y＝ax²+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S_△PBC＝

S_△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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86. （2020•重庆市•模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x²+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.5

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79. （2020•鄂尔多斯市•真题）如图1，抛物线y＝x²+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.5

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72. （2020•宿迁市•真题）二次函数y＝ax²+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.5

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651. （2019•陕西省•副题）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:1.5

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77. （2020•淄博市•真题）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax²+bx+

（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的

，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

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25684. （2023•陕西省•真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m²，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m,拱高P'E'=6m.其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，OE′=E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S₁，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S₂，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，S2＝12

m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S₁并比较S₁，S₂的大小．
$德优题库$

共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:1.5

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亦世凡华

2021-01-06

初中数学 | 解答题

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二次函数压轴题型采集卷

更新:2020-12-28 11:10浏览量:1998

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