已知，抛物线L：y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（-3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L的顶点坐标和A点坐标．（2）如何平移抛物线L得到抛物线L1，使得平移后的抛物线L1的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称？（3）将抛物线L平移，使其经过点C得到抛物线L2，点P（m，n）（m＞0）是抛物线L2上的一点，是否存在点P，使得△PAC为等腰直角三角形？若存在，请直接写出抛物线L2的表达式；若不存在，请说明理由．

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4688. （2018•石狮市石光中学•模拟）已知，抛物线L：y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B（-3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L的顶点坐标和A点坐标．
（2）如何平移抛物线L得到抛物线L₁，使得平移后的抛物线L₁的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称？
（3）将抛物线L平移，使其经过点C得到抛物线L₂，点P（m，n）（m＞0）是抛物线L₂上的一点，是否存在点P，使得△PAC为等腰直角三角形？若存在，请直接写出抛物线L₂的表达式；若不存在，请说明理由．

共享时间:2018-06-25 难度:4

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[考点]

二次函数的顶点坐标二次函数与平移问题二次函数与面积最值问题二次函数综合应用等腰直角三角形

[答案]

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[解析]

解：（1）由题意知c＝3
∴y＝x²+bx+3
∵图象过B（﹣3，0）
∴把B（﹣3，0）代入y＝x²+bx+3中得，
0＝（﹣3）²+（﹣3）b+3，解得，b＝4
∴y＝x²+4x+3
令x²+4x+3＝0
即（x+1）（x+3）＝0
解得，x₁＝﹣1，x₂＝﹣3
∴A（﹣1，0）
设顶点D（h，k）
由h＝﹣

＝﹣

＝﹣2，k＝

＝

＝﹣1
∴D（﹣2，﹣1）
（2）将y＝x²+4x+3化为顶点式得，
y＝（x+2）²﹣1
由题意设平移后的函数图象L₁的顶点坐标为D’（2，1）
∴新函数L₁的顶点式为，y＝（x﹣2）²+1
∴由平移法则得L₁是由L先向右4个单位，再向上2个单位得到的．

（3）存在．
理由如下：依题意设抛物线L₂的解析式为，y＝x²+b'x+3．
如图1，当PA＝PC且PA⊥PC时，
取AC中点Q（﹣

，

），并过Q作QP⊥AC，垂足为Q，截取QP＝QA．
在Rt△CAO中，AC²＝OA²+CO²
∴AC＝

＝

∵Q为AC中点
∴AQ＝

AC＝

又∵PQ⊥AC，PQ＝AQ
∴△AQP为等腰直角三角形
∴AP＝PC＝

AQ＝

＝

过P作直线l⊥x轴于点N，过C作CM⊥l于点M，则易证明△PCM≌△PAN（AAS）
∴CM＝PN
由P（m，n）得，m＝n
∴AN＝1+m
在Rt△APN中得AN²+PN²＝AP²得，
m²+（1+m）²＝5
解得，m₁＝﹣2，m₂＝1
又∵m＞0
∴P（1，1）
由P在抛物线L₂上，则把P（1，1）代入y＝x²+b'x+3得，
1＝1+b'+3，解得b'＝﹣3
此时y＝x²﹣3x+3．
如图2，当AC＝CP且AC⊥CP时，过P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，
同理易证明△PMC≌△AOC（AAS）
∴PM＝OC＝3，OA＝CM＝1，PN＝OC﹣CM＝2
∴P（3，2）
把P（3，2）代入y＝x²+b'x+3得，
2＝9+3b'+3
解得，b'＝﹣

∴此时y＝x²﹣

x+3
如图3，当AC＝AP且AC⊥AP时，过A作直线l⊥x轴于点A，过P、C分别作PM、CN垂直于l于点M、N，
同理易证明△PMA≌△ANC（AAS）
∴PM＝3，AM＝1
∴P（2，﹣1）
把P（2，﹣1）代入y＝x²+b'x+3中得，
﹣1＝4+2b'+3，解得，b'＝﹣4
∴此时y＝x²﹣4x+3
综上所述，满足题意得抛物线L₂的解析式可以为，y＝x²﹣

x+3或y＝x²﹣3x+3或y＝x²﹣4x+3．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用等腰直角三角形二次函数与平移问题二次函数与面积最值问题二次函数的顶点坐标 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

1051. （2019•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax²+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.2

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1093. （2020•陕西省•真题）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2020-07-30 难度:4 相似度:1.2

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880. （2013•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表达式可表示为y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）]．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.2

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809. （2015•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x²+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．

共享时间:2015-08-18 难度:4 相似度:1.2

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474. （2017•陕西省•副题）如图，已知抛物线L：y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S_△_ABC＝2S_△_OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:1.2

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440. （2016•陕西省•副题）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，点A（2，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:1.2

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359. （2012•陕西省•真题）如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是　　三角形；
（2）若抛物线y=﹣x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x²+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-07-03 难度:5 相似度:1.2

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81. （2020•陕西省•模拟）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.2

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78. （2020•海南省•真题）抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.2

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20862. （2020•高新一中•一模）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；
（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；
（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2020-06-18 难度:4 相似度:0.9

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3144. （2019•滨河中学•模拟）如图，已知抛物线y＝

x²+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

$德优题库$

共享时间:2019-05-31 难度:4 相似度:0.9

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6244. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知：抛物线y＝ax²+bx+3经过点P（1，4）和点Q（2，﹣3）．
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况．
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形．请你写出平移过程，并说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:4 相似度:0.8

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6494. （2017••模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在点Q使△BCQ的面积最大，若存在，请求出点Q坐标．

共享时间:2017-06-23 难度:4 相似度:0.8

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6519. （2017••模拟）如图，抛物线C₁：y＝x²+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C₁向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，C₂交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C₁的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C₂的对称轴上时，求抛物线C₂的解析式；
（3）若抛物线C₂的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．

共享时间:2017-06-20 难度:4 相似度:0.8

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6118. （2017•漳州双语实验学校•模拟）已知抛物线y＝a（x﹣1）²﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D．
（1）试确定a的值，并直接写出D点的坐标．
（2）试在x轴上求一点P，使得△PCD的周长取最小值．
（3）若被抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，所得新抛物线的顶点记作D′，点A的对应点记作A′，与原抛物线的交点记作E，则是否存在一个m的值，使△A′BE的面积与△A′BD′的面积比为