如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，&ang;BAD＝60°，&ang;BCD＝30°，AC＝，则四边形ABCD面积的最小值是　       　．

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20852. （2020•高新一中•一模）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝

，则四边形ABCD面积的最小值是　　．

时间:2021-09-22 难度:4

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组卷

[考点]

等边三角形的性质全等三角形的判定与性质三角形的外接圆与外心旋转的性质

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：如图，将△ADC绕点A顺时针旋转60°到△ABP，AD旋转至AB处，

∵AC＝AP，∠CAP＝60°，
∴△APC为等边三角形
∴AP＝CP＝AC＝4

，
∴S_四边形_ABCD＝S_△_ABC+S_△_ACD＝S_△_ABC+S_△_ABP＝S_△_APC﹣S_△_BPC，
∵∠BCD＝30°，
∴∠PBC＝360°﹣∠ABP﹣∠ABC，
＝360°﹣∠ADC﹣∠ABC，
＝∠BAD+∠BCD，
＝60°+30°，
＝90°，
∴点B在以PC为直径的圆弧MN上（不含点M，N）．
连接圆心O与点B，当OB⊥PC时，点B到PC的距离最大，
∴S_△_CPB的最大值为

×4

×2

＝8，
∵S_△_APC＝

×4

sin60°＝8

，
∴S_四边形_ABCD的最小值＝S_△_APC﹣S_△_CBP_的最大值＝8

﹣8．
故答案为：8

﹣8．

[点评]

本题考查了"等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的外接圆与外心,旋转的性质",属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23414. （2020•西工大附中•八上二月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是．

时间:2022-01-09 难度:4 相似度:1.5

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25148. （2022••八下期中）如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB=100°，则∠AFB的度数为．
$德优题库$

时间:2023-04-24 难度:2 相似度:1.25

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24832. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 如图，AD是等边△ABC的中线，点E是AB上的点，且AE=AD，则∠EDB= ．

时间:2023-03-16 难度:2 相似度:1.25

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组卷

845. （2014•陕西省•真题）如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为　　．

时间:2021-02-04 难度:4 相似度:1.25

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910. （2017•陕西省•真题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为　　．

时间:2021-02-06 难度:4 相似度:1.17

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4528. （2018•石狮市石光中学•模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣

，1），连接AO，如果点B是x轴上的个动点，以AB为边作正△ABC．若点C（x，y）在第一象限内，则y与x之间的关系式为　　．

时间:2021-03-20 难度:3 相似度:1.17

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25713. （2023•交大附中•六模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3，BC=7，∠C=45°，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上动点，连接EF，将EF绕点E顺时针旋转90°到EG，则DG的最小值为．
$德优题库$

时间:2024-03-12 难度:3 相似度:0.9

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19036. （2019•漳州双语实验学校•月考）等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为______．

时间:2021-04-25 难度:4 相似度:0.9

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61354. （2023•爱知中学•八上期末）如图，△ABC为等边三角形，边长AB=4，点D、E是边BC上的两个点，且AD=AE=

，则BD的长为．
$德优题库$

时间:2024-12-18 难度:2 相似度:0.75

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24835. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠C=55°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数为　．

时间:2023-03-16 难度:2 相似度:0.75

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24144. （2021•高新一中•七下期中）将一副三角板中的两块直角三角板的顶点C按如图方式放在一起，其中∠A=30°，∠E=∠ECD=45°，且B、C、D三点在同一直线上．现将三角板CDE绕点C顺时针转动α度（0°＜α＜180°）．在转动过程中，若三角板CDE和三角板ABC有一组边互相平行，则转动的角度α为．
$德优题库$