等边三角形ABC中，&ang;BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为______．

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19036. （2019•漳州双语实验学校•月考）等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为______．

共享时间:2021-04-27 难度:4

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[考点]

三角形三边关系等边三角形的性质勾股定理旋转的性质费马点问题

[答案]

答案详见解答

[解析]

证：如图1，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE．则AE=BP，∠AEC=∠BPC，PC=CE

∴△PCE是等边三角形，
∴∠PEC=60°，PC=PE
又PC＝4，∠BPC=150°
∴PC=PE=4，∠AEC=∠BPC=150°
∴∠AEP=150°-∠PEC=60°=90°，
又AE=BP=3，
∴PA=

\sqrt{A E^{2} + P E^{2}}

=5，
如图2，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN．则PM=FN，AP=AF

∴△PAF是等边三角形，
∴PF=AP=5，
在△PFN中，NF+NP≥PF
又PM=FN，
∴PM+PN≥AP，
∴PM+PN≥5，
∴PM+PN的最小值为5，
故答案为：5．

[点评]

本题考查了"三角形三边关系等边三角形的性质勾股定理旋转的性质费马点问题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请告知发布者本人！

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

25614. （2023•爱知中学•二模）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，BC⊥AB，AD=2，AB＝2

，BC=4，点E是四边形ABCD内一点，连接AE、BE、DE、CE，则（AE+BE+CE+DE）的最小值为．

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共享时间:2023-04-28 难度:3 相似度:1.4

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61354. （2023•爱知中学•八上期末）如图，△ABC为等边三角形，边长AB=4，点D、E是边BC上的两个点，且AD=AE=

，则BD的长为．
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共享时间:2023-02-23 难度:2 相似度:1.4

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845. （2014•陕西省•真题）如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为　　．

共享时间:2014-09-18 难度:4 相似度:1.2

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25148. （2022••八下期中）如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB=100°，则∠AFB的度数为．
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共享时间:2022-05-12 难度:2 相似度:1.2

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24832. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 如图，AD是等边△ABC的中线，点E是AB上的点，且AE=AD，则∠EDB= ．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.2

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24212. （2021•交大附中•七下期中）已知三角形的两边长分别为2和7，第三边为奇数，则它第三边的长是．

共享时间:2021-05-06 难度:2 相似度:1.2

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23414. （2020•西工大附中•八上二月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是．

共享时间:2021-01-09 难度:4 相似度:0.9

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20852. （2020•高新一中•一模）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝

，则四边形ABCD面积的最小值是　　．

共享时间:2020-06-18 难度:4 相似度:0.9

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25713. （2023•交大附中•六模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3，BC=7，∠C=45°，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上动点，连接EF，将EF绕点E顺时针旋转90°到EG，则DG的最小值为．
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共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:0.8

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2886. （2019•永春华侨中学•模拟）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为　　．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:0.8

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25368. （2021••八下期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=6，D为AC上一点，AD=4，将AD绕点A旋转至AD'，连接BD'，F为BD'的中点，则CF的最小值为．
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共享时间:2021-05-30 难度:2 相似度:0.8

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4503. （2018•师大附中•模拟）如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA+PB+PC的最小值为　　．

共享时间:2018-06-04 难度:4 相似度:0.8

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25727. （2023•滨河中学•五模） ⊙O的半径为4，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD=4

，则S_△AOD+S_△BOC最大面积为．
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共享时间:2024-03-13 难度:4 相似度:0.73

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19111. （2016•永春华侨中学•模拟）如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为

cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝　　度．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:0.73

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23298. （2021•宁国市河沥中学•八上期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=2

，AB=2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是．
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共享时间:2021-11-27 难度:3 相似度:0.7

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竹黎

2021-04-27

初中数学 | 填空题

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