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79. (2020•鄂尔多斯市•真题) 如图1,抛物线yx2+bx+cx轴于AB两点,其中点A的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点Dy轴上一点,如果直线BD与直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度;
(3)如图2,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO,求点P的坐标.
[考点]
抛物线与x轴的交点   二次函数综合应用   
[答案]
答案见解析
[解析]
解:(1)∵抛物线yx2+bx+cx轴于点A(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3),

解得:
∴抛物线解析式为:yx2+2x﹣3;
(2)∵抛物线yx2+2x﹣3与x轴交于AB两点,
∴点B(﹣3,0),
∵点B(﹣3,0),点C(0,﹣3),
OBOC=3,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
如图1,当点D在点C上方时,
       
∵∠DBC=15°,
∴∠OBD=30°,
∴tan∠DBO
OD×3=
CD=3﹣
若点D在点C下方时,
∵∠DBC=15°,
∴∠OBD=60°,
∴tan∠DBO
OD=3
DC=3﹣3,
综上所述:线段CD的长度为3﹣或3﹣3;
(3)如图2,在BO上截取OEOA,连接CE,过点EEFAC

∵点A(1,0),点C(0,﹣3),
OA=1,OC=3,
AC
OEOA,∠COE=∠COA=90°,OCOC
∴△OCE≌△OCASAS),
∴∠ACO=∠ECOCEAC
∴∠ECA=2∠ACO
∵∠PAB=2∠ACO
∴∠PAB=∠ECA
SAECAE×OCAC×EF
EF
CF
∴tan∠ECA
如图2,当点PAB的下方时,设APy轴交于点N
∵∠PAB=∠ECA
∴tan∠ECA=tan∠PAB
ON
∴点N(0,﹣),
又∵点A(1,0),
∴直线AP解析式为:yx
联立方程组得:
解得:
∴点P坐标为:(﹣,﹣),
当点PAB的上方时,同理可求直线AP解析式为:y=﹣x+
联立方程组得:
解得:
∴点P坐标为:(﹣),
综上所述:点P的坐标为(﹣),(﹣,﹣).
[点评]
本题考查了"待定系数法求二次函数   抛物线与x轴的交点   二次函数综合应用   ",属于"综合题",熟悉题型是解题的关键
72. (2020•宿迁市•真题) 二次函数yax2+bx+3的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,顶点为E..
(1)求这个二次函数的表达式,并写出点E的坐标;
(2)如图①,D是该二次函数图象的对称轴上一个动点,当BD的垂直平分线恰好经过点C时,求点D的坐标;
(3)如图②,P是该二次函数图象上的一个动点,连接OP,取OP中点Q,连接QCQECE,当△CEQ的面积为12时,求点P的坐标.
时间:2020-12-26 难度:4 相似度:2
75. (2020•呼伦贝尔市•真题) 如图,抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于点A(﹣1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C,连接BC,点P是线段BC上的动点(与点BC不重合),连接AP并延长AP交抛物线于点Q,连接CQBQ,设点Q的横坐标为m
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)当△BCQ的面积等于2时,求m的值;
(3)在点P运动过程中,是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
                                                                                                                                             
时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.67
62. (2017•北京市•真题) 在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx2﹣4x+3与x轴交于点AB(点A在点B的左侧),与y轴交于点C
(1)求直线BC的表达式;
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点Px1y1),Qx2y2),与直线BC交于点Nx3y3),若x1x2x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.
时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.5
1051. (2019•陕西省•真题) 在平面直角坐标系中,已知抛物线Lyax2+cax+c经过点A(﹣30)和点B0,﹣6),L关于原点O对称的抛物线为L′.
1)求抛物线L的表达式;
2)点P在抛物线L′上,且位于第一象限,过点PPDy轴,垂足为D.若△POD与△AOB相似,求符合条件的点P的坐标.
                                                                                                                           
时间:2021-03-01 难度:5 相似度:1.5
880. (2013•陕西省•真题) 在平面直角坐标系中,一个二次函数的图象经过点A(1,0)、B(3,0)两点.
(1)写出这个二次函数图象的对称轴;
(2)设这个二次函数图象的顶点为D,与y轴交于点C,它的对称轴与x轴交于点E,连接AC、DE和DB,当△AOC与△DEB相似时,求这个二次函数的表达式.
[提示:如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A(x1,0)、B(x2,0),那么它的表达式可表示为y=a(x﹣x1)(x﹣x2)].
                                                                                           
 
时间:2021-02-05 难度:3 相似度:1.5
809. (2015•陕西省•真题) 在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+5x+4的顶点为M,与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式;
(3)设(2)中所求抛物线的顶点为M′,与x轴交于A′,B′两点,与y轴交于C′点,在以A,B,C,M,A′,B′,C′,M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中,求其中一个不是菱形的平行四边形的面积.
时间:2021-02-03 难度:4 相似度:1.5
509. (2018•陕西省•副题) )已知抛物线Lymx28x+3mx轴相交于AB(﹣10)两点,并与y轴相交于点C.抛物线L′与L关于坐标原点对称,点ABL′上的对应点分别为A′、B
1)求抛物线L的函数表达式;
2)在抛物线L′上是否存在点P,使得△PA'A的面积等于△CB'B的面积?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
时间:2021-01-08 难度:5 相似度:1.5
474. (2017•陕西省•副题) 如图,已知抛物线Lyax2+bx+ca0)与x轴交于AB两点.与y轴交于C点.且A(﹣10),OBOC3OA
1)求抛物线L的函数表达式;
2)在抛物线L的对称轴上是否存在一点M,使△ACM周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
3)连接ACBC,在抛物线L上是否存在一点N,使SABC2SOCN?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
时间:2021-01-08 难度:5 相似度:1.5
440. (2016•陕西省•副题) 如图所示,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,且△AOB是等腰直角三角形,∠AOB90°,点A21).
1)求点B的坐标;
2)求经过AOB三点的抛物线的函数表达式;
3)在(2)所求的抛物线上,是否存在一点P,使四边形ABOP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
时间:2021-01-07 难度:5 相似度:1.5
359. (2012•陕西省•真题) 如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形”一定是  三角形;
(2)若抛物线y=﹣x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值;
(3)如图,△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.
                                                                                                                          
时间:2021-01-06 难度:5 相似度:1.5
81. (2020•陕西省•模拟) 如图,抛物线yx2+bx+c经过点(3,12)和(﹣2,﹣3),与两坐标轴的交点分别为ABC,它的对称轴为直线l
(1)求该抛物线的表达式;
(2)P是该抛物线上的点,过点Pl的垂线,垂足为DEl上的点.要使以PDE为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.
                                                                                                                                                
时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.5
1093. (2020•陕西省•真题) 如图,抛物线yx2+bx+c经过点(3,12)和(﹣2,﹣3),与两坐标轴的交点分别为ABC,它的对称轴为直线l
(1)求该抛物线的表达式;
(2)P是该抛物线上的点,过点Pl的垂线,垂足为DEl上的点.要使以PDE为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.
                                                                                                                            
时间:2021-03-04 难度:4 相似度:1.5
78. (2020•海南省•真题) 抛物线yx2+bx+c经过点A(﹣3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧.
①如图1,过点PPDx轴于点D,作PEy轴于点E,当PD=2PE时,求PE的长;
②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得∠ACP=∠OCB?若存在,请求出所有点P的坐标:若不存在,请说明理由.
时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.5
66. (2020•达州市•真题) 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线yx﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,过AB两点的抛物线yax2+bx+cx轴交于另一点C(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点P,使SPABSOAB?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M为直线AB下方抛物线上一点,点Ny轴上一点,当△MAB的面积最大时,求MN+ON的最小值.
                                                                                                                                                    
时间:2020-12-26 难度:5 相似度:1.5
22986. (2021•晋江市南侨中学•九上期中) 德优题库已知二次函数y=ax2+bx-3a经过点A(-1,0),C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式;
(2)连接AC、CD、DB,求S四边形ACDB
(3)在该抛物线上是否存在点P,使得S△ABP=S四边形ACDB?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
时间:2021-11-30 难度:4 相似度:1.33

亦世凡华

2020-12-26 16:29

初中数学 | 解答题

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