如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．（1）求该抛物线和直线BC的解析式；（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．                           &n

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71. （2019•自贡市•期末）如图，已知抛物线y＝ax²+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:3

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[考点]

待定系数法求一次函数解析式二次函数的性质抛物线与x轴的交点二次函数的几何最值问题

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）代入抛物线解析式得：

，
解得：

，
故抛物线的解析式为：y＝﹣

x²+4x﹣6，
其对称轴为：x＝4，
故点C的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标代入可得：

，
解得：

，
故直线BC的解析式为y＝

x﹣6；

（2）联立直线BC与抛物线的解析式：

，
解得：

或

，
故点D的坐标为（5，

），
则S_△ABD＝S_△ACD+S_△ABC＝

AC×D_纵+

AC×|B_纵|＝

．

（3）存在点Q，使得△QAB的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：

A'坐标为（6，0），B（0，﹣6），
设直线A'B的解析式为：y＝mx+n，代入两点坐标可得：

，
解得：

，
即直线A'B的解析式为y＝x﹣6，
故点Q的坐标为（4，﹣2）．

[点评]

本题考查了"待定系数法求一次函数二次函数的性质二次函数图象与系数的二次函数的几何最值问题抛物线与x轴的交点 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

69. （2019•合肥市•模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是边长为5的菱形，顶点A，C，D均在坐标轴上，sinB＝

．
（1）求过A，C，D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y₁＝mx+n，（1）中抛物线的解析式为y₂＝ax²+bx+c，求当y₁＞y₂时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，且直线PE交x轴于点F，问：当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.35

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74. （2020•东营市•真题）如图，抛物线y＝ax²﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）

是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.35

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.25

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62. （2017•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与直线BC交于点N（x₃，y₃），若x₁＜x₂＜x₃，结合函数的图象，求x₁+x₂+x₃的取值范围．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.25

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509. （2018•陕西省•副题））已知抛物线L：y＝mx²﹣8x+3m与x轴相交于A和B（﹣1，0）两点，并与y轴相交于点C．抛物线L′与L关于坐标原点对称，点A、B在L′上的对应点分别为A′、B′
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PA'A的面积等于△CB'B的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-01-08 难度:5 相似度:1.25

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75. （2020•呼伦贝尔市•真题）如图，抛物线y＝﹣

x²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，

是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.17

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68. （2019•永州市•真题）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.17

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76. （2020•陕西省•同步）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.17

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67. （2019•自贡市•期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax²+bx﹣5与x轴交于A（﹣1.0）．B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求地物线的解析式；
（2）在地物线的对称轴上找一点M．使得MA+MC最小，请求出点M的坐标；
（3）在直线BC下方抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1

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20479. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

时间:2021-09-06 难度:4 相似度:0.83

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19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

时间:2021-05-15 难度:4 相似度:0.83

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6344. （2017•永春三中•模拟）如图，直线AB与抛物线l：y=-x²+bx+c分别交于A（0，5），B（5，0）两点，这条抛物线的顶点为C，对称轴与直线AB交于点D．
（1）求抛物线l的函数表达式，并直接写出点C、D的坐标．
（2）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点记为C′，对称轴与x轴的交点记为E，如果以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形，那么应将抛物线l怎样平移？为什么？
$德优题库$

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:0.79

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72. （2020•宿迁市•真题）二次函数y＝ax²+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:0.75

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21108. （2021•交大附中•九模）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

每月用气量	单价（元/m³）
不超出75m³的部分	2.5
超出75m³不超出125m³的部分	2.75
超出125m³的部分	3

（1）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m³），y与x之间的关系如图所示，求线段AB所表示的y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若乙用户3月份用气80m³，应缴费多少元？

时间:2021-10-12 难度:3 相似度:0.75

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79. （2020•鄂尔多斯市•真题）如图1，抛物线y＝x²+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:0.75

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亦世凡华

2020-12-26 16:03

初中数学 | 解答题

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二次函数压轴题型采集卷

更新:2020-12-28 11:10浏览量:2001

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