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首页 > 试题列表 > 单题解析
20479. （2020•铁一中学•八模） 如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S△OPC＝S△OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．
共享时间:2020-07-27 难度:4
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[考点]
求二次函数的解析式   二次函数的性质   二次函数的增减性   二次函数的顶点坐标   二次函数的动点问题   二次函数的几何最值问题   
[答案]
答案详见解析
[解析]
解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，
∵抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，
∴得，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+5x；
（2）设直线OA的解析式为：y＝kx，
将A点的坐标代入得4＝4k，
解得k＝1，
故直线OA的解析式为：y＝x，
设P点的坐标为（m，﹣m2+5m），则点C的坐标为（m，m），
当0＜m＜4时，
∵S△OPC＝S△OCD，
∴CD＝PD，即﹣m2+5m＝m，
解得m＝0（舍去） 或，
当4≤m≤5时，
∵S△OPC＝S△OCD，
∴CD＝PD，即﹣m2+5m＝m，
解得m＝0（舍去）或，
综上，点P的坐标为（，）或（，）；
（3）以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等时，存在∠PMC和∠CPM为直角两种情况，
∵直线OA的解析式为：y＝x，
∴OD＝CD，
∴△ODC为等腰直角三角形，
①当∠MPC为直角时，如图1，
（Ⅰ）当P在OA上方时，
∵以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，
∴PM＝OD＝m＝PC，
故点P的坐标为（m，2m），
将P点坐标代入抛物线解析式，
得2m＝﹣m2+5m，
解得：m＝0（舍去）或3，
故此时点P的坐标为（3，6），
点P向右平移三个单位得到M点的坐标为（6，6），
（Ⅱ）当P在OA下方时，
同理可求M'点坐标为（0，0），
②当∠PMC为直角时，如图2，
（Ⅰ）当P在OA上方时，
∵以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，
∴PM＝OD＝m，PC＝OC＝m，
故点P的坐标为（m，m+m），
将P点坐标代入抛物线解析式，
得m+m＝﹣m2+5m，
解得：m＝0（舍去）或4﹣，
故此时点C的坐标为（4﹣，4﹣），
∵CM＝m＝4﹣，
故点C向右平移m个单位再向上平移m个单位得到M点的坐标为（3+，3+），
（Ⅱ）当P在OA下方时，
同理可求M'点坐标为（3﹣，3﹣），
综上，点M的坐标为（6，6）或（0，0）或（3+，3+）或（3﹣，3﹣）．

 
[点评]
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要学会利用数形结合的思想，通过平移已知点的坐标得出M点的坐标是解题的关键．
转载声明：
本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请告知发布者本人！
21439. （2020•铁一中学•八模） 如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S△OPC＝S△OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．
共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.34
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20160. （2021•漳州双语实验学校•四模） 在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点C、点D的坐标；
（2）将抛物线L向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线L'，抛物线L与L'的交点为P，若△PCD是以CD为直角边的直角三角形，请求出m的值．
共享时间:2021-05-31 难度:4 相似度:1.34
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19253. （2016•西工大附中•模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y＝﹣x2+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W1与抛物线W2关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W2的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W1上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

 
共享时间:2016-06-06 难度:4 相似度:1.34
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23085. （2021•高新一中•九上期中） 求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=x2-4x-1；
（2）y=-2x2-5x+7．
共享时间:2021-11-25 难度:3 相似度:1.33
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61. （2020•北京市•真题） 在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.17
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20185. （2021•西工大附中•五模） 在平面直角坐标系中，经过点（1，﹣10），（2，﹣12）的抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线确定一点P，使∠ACP＝90°，求点P的坐标；
（3）是否在x轴上存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
共享时间:2021-06-03 难度:4 相似度:1.17
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19062. （2016•交大附中•模拟） 如图，已知抛物线C1经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线C1的函数表达式．
（2）抛物线C2与抛物线C1关于原点成中心对称，求抛物线C2的函数表达式．
（3）P是抛物线C2上的第四象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
共享时间:2016-06-21 难度:4 相似度:1.17
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6519. （2017••模拟） 如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；
（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．
共享时间:2017-06-20 难度:4 相似度:1.1
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6168. （2014•德州市•真题） 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
共享时间:2017-06-21 难度:4 相似度:1
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23921. （2022•高新一中•二模） 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于点A（-1，4），点B（3，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以B、O、M、N为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求点M的坐标．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1
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68. （2019•永州市•真题） 如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
                                                                                                                                                   
共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1
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23818. （2021•益新中学•五模） 已知二次函数y=x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-06-18 难度:4 相似度:1
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19121. （2016•永春华侨中学•模拟） 已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

 
共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1
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6344. （2017•永春三中•模拟） 如图，直线AB与抛物线l：y=-x2+bx+c分别交于A（0，5），B（5，0）两点，这条抛物线的顶点为C，对称轴与直线AB交于点D．
（1）求抛物线l的函数表达式，并直接写出点C、D的坐标．
（2）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点记为C′，对称轴与x轴的交点记为E，如果以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形，那么应将抛物线l怎样平移？为什么？
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共享时间:2017-06-08 难度:4 相似度:0.93
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21111. （2021•石狮市石光中学•九模） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y=x2+bx+c与x轴交于A（-4，0）、B两点，且过点C（0，-2）．抛物线W2与抛物线W1关于原点对称，点C在W2上的对应点为C′．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）写出抛物线W2的表达式；
（3）若点P在抛物线W1上，试探究：在抛物线W2上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:0.88
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dcyx2021

2020-07-27

初中数学 | 解答题

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