在平面直角坐标系中，经过点（1，﹣10），（2，﹣12）的抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在抛物线确定一点P，使&ang;ACP＝90°，求点P的坐标；（3）是否在x轴上存在点M，使&ang;OCM+&ang;ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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20185. （2021•西工大附中•五模）在平面直角坐标系中，经过点（1，﹣10），（2，﹣12）的抛物线y＝ax²+bx﹣6与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线确定一点P，使∠ACP＝90°，求点P的坐标；
（3）是否在x轴上存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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[考点]

求二次函数的解析式二次函数的图像二次函数的性质二次函数的增减性二次函数的动点问题二次函数综合应用等腰三角形的性质锐角三角函数

[答案]

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[解析]

解：（1）由题意可得：

，
解得：

，
∴抛物线的解析式为y＝x²﹣5x﹣6；
（2）∵抛物线的解析式为y＝x²﹣5x﹣6与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B，
∴点（0，﹣6），点A（﹣1，0），点B（6，0），
∴OA＝1，OC＝OB＝6，
如图1，过点P作PH⊥y轴于H，

∴∠PHC＝∠AOC＝∠ACP＝90°，
∴∠ACO+∠PCO＝90°＝∠PCO+∠CPH，
∴∠ACO＝∠CPH，
设点P（x，x²﹣5x﹣6），
∵tan∠ACO＝tan∠CPH＝

，
∴

＝

，
解得：x₁＝0，x₂＝

，
∴点P（

，﹣

）；
（3）如图2，当点M在OC的右侧时，过点M作MN⊥BC于N，

∵OB＝OC＝6，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，BC＝6

，
∴∠OBC＝∠NMB＝45°，
∴MN＝BN，BM＝

BN，
∵∠OCM+∠ACO＝45°，∠OCM+∠BCM＝45°，
∴∠ACO＝∠BCM，
∴tan∠ACO＝tan∠BCM＝

＝

，
∴CN＝6MN＝6BN，
∵CN+BN＝BC＝6

，
∴BN＝MN＝

，
∴BM＝

BN＝

，
∴OM＝OB﹣BM＝

，
∴点M坐标为（

，0）；
当点M'在OC的左侧，
∵∠OCM+∠ACO＝45°＝∠OCM'+∠ACO，
∴∠OCM'＝∠OCM，
∵OC⊥AB，
∴∠CMM'＝∠CM'M，
∴CM＝CM'，
∴OM＝OM'＝

，
∴点M'（﹣

，0）；
综上所述：点M坐标为（﹣

，0）或（

，0）．

[点评]

本题考查了"求二次函数的解析式,二次函数的图像,二次函数的性质,二次函数的增减性,二次函数的动点问题,二次函数综合应用,等腰三角形的性质,锐角三角函数 ",属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23921. （2022•高新一中•二模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB交于点A（-1，4），点B（3，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以B、O、M、N为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求点M的坐标．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.46

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20160. （2021•漳州双语实验学校•四模）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x²﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点C、点D的坐标；
（2）将抛物线L向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线L'，抛物线L与L'的交点为P，若△PCD是以CD为直角边的直角三角形，请求出m的值．

共享时间:2021-05-31 难度:4 相似度:1.46

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6244. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知：抛物线y＝ax²+bx+3经过点P（1，4）和点Q（2，﹣3）．
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况．
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形．请你写出平移过程，并说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:4 相似度:1.3

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25684. （2023•陕西省•真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m²，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m,拱高P'E'=6m.其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，OE′=E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S₁，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S₂，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'=3m时，S2＝12

m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S₁并比较S₁，S₂的大小．
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共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:1.25

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19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

共享时间:2016-06-06 难度:4 相似度:1.17

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20479. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:1.17

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19121. （2016•永春华侨中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.17

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21439. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.17

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6168. （2014•德州市•真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

共享时间:2017-06-21 难度:4 相似度:1.17

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23818. （2021•益新中学•五模）已知二次函数y=x²+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-06-18 难度:4 相似度:1.17

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1093. （2020•陕西省•真题）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2020-07-30 难度:4 相似度:1.13

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1051. （2019•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax²+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.13

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2896. （2015•云南省•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:1.13

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880. （2013•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表达式可表示为y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）]．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.13

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809. （2015•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x²+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．

共享时间:2015-08-18 难度:4 相似度:1.13

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dcyx2021

2021-06-03

初中数学 | 解答题

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2021年陕西省西安市西工大附中中考数学五模试卷

更新:2021-06-03 06:48浏览量:976

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