如图，一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）写出不等式ax2+bx+c≥0的解集；（3）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（4）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．                  

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65. （2019•铜仁市•期中）如图，一元二次方程x²+2x﹣3＝0的二根x₁，x₂（x₁＜x₂）是抛物线y＝ax²+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出不等式ax²+bx+c≥0的解集；
（3）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
（4）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

时间:2020-12-26 难度:4

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[考点]

根与系数的关系（韦达定理）抛物线与x轴的交点二次函数与不等式（组）轴对称-最短路线问题

[答案]

答案见解析

[解析]

解：（1）一元二次方程x²+2x﹣3＝0的二根x₁，x₂（x₁＜x₂）为：
x₁＝﹣3，x₂＝1．
∴抛物线y＝ax²+bx+c与x轴的两个交点的坐标为B（1，0），C（﹣3，0）．
设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
∵抛物线过点A（3，6）．
∴6＝a（3+3）（3﹣1），解得a＝

．
∴二次函数的解析式为y＝

（x+3）（x﹣1）＝

x²+x﹣

．
（2）根据图象可知：
不等式ax²+bx+c≥0的解集为：x≤﹣3或x≥1；
（3）由y＝

x²+x﹣

．
∴抛物线的顶点坐标为P（﹣1，﹣2），对称轴方程为x＝﹣1．
设直线AC解析式为y＝kx+b，
将A（3，6），C（﹣3，0），代入解得：
k＝1，b＝3，
直线AC解析式为y＝x+3．
将x＝﹣1代入，得y＝2．
∴Q（﹣1，2）．
（4）作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），

连接A′Q，A′Q与x轴交于点M即为所求的点．
设直线A′Q的解析式为y＝kx+b，
将A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入解得：
k＝﹣2，b＝0．
∴直线A′C的解析式为y＝﹣2x．
令x＝0，则y＝0．
∴M（0，0）．

[点评]

本题考查了"根与系数的关系（韦达定理）待定系数法求二次函数抛物线与x轴的交点二次函数与不等式（组轴对称-最短路线问题 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

62. （2017•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与直线BC交于点N（x₃，y₃），若x₁＜x₂＜x₃，结合函数的图象，求x₁+x₂+x₃的取值范围．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.25

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509. （2018•陕西省•副题））已知抛物线L：y＝mx²﹣8x+3m与x轴相交于A和B（﹣1，0）两点，并与y轴相交于点C．抛物线L′与L关于坐标原点对称，点A、B在L′上的对应点分别为A′、B′
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PA'A的面积等于△CB'B的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-01-08 难度:5 相似度:1.25

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67. （2019•自贡市•期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax²+bx﹣5与x轴交于A（﹣1.0）．B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求地物线的解析式；
（2）在地物线的对称轴上找一点M．使得MA+MC最小，请求出点M的坐标；
（3）在直线BC下方抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1

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1000. （2018•陕西省•真题）已知抛物线L：y=x²+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

时间:2021-02-08 难度:4 相似度:0.75

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79. （2020•鄂尔多斯市•真题）如图1，抛物线y＝x²+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:0.75

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72. （2020•宿迁市•真题）二次函数y＝ax²+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:0.75

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76. （2020•陕西省•同步）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:0.58

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510. （2018•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝4，∠A＝135°，点B关于AC所在直线的对称点为B′，则BB′的长度为　　．
问题探究
（2）如图②，半圆O的直径AB＝10，C是

的中点，点D在

上，且

＝2

，P是AB上的动点，试求PC+PD的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形花坛AOB的半径为20m，∠AOB＝45°．根据工程需要．现想在

上选点P，在边OA上选点E，在边OB上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE+EF+FP的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF为等腰三角形．试求PE+EF+FP的值最小时的等腰△PEF的面积．（安装损耗忽略不计）

时间:2021-01-08 难度:5 相似度:0.58

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75. （2020•呼伦贝尔市•真题）如图，抛物线y＝﹣

x²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，

是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:0.58

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64. （2018•乐山市•真题）已知关于x的一元二次方程mx²+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y＝mx²+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且|x₁﹣x₂|＝6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a²﹣n²+8n的值．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:0.58

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63. （2019•湘潭市•真题）如图一，抛物线y＝ax²+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，

）三点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x₁，y₁）、Q（4，y₂）两点均在该抛物线上，若y₁≥y₂，求P点横坐标x₁的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:0.58

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71. （2019•自贡市•期末）如图，已知抛物线y＝ax²+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:0.5

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66. （2020•达州市•真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝

x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S_△PAB＝S_△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+

ON的最小值．

时间:2020-12-26 难度:5 相似度:0.5

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963. （2016•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=