（1）如图1，线段AB的长为4，请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC．（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=CD，&ang;ABC=120°，&ang;ADC=60°，AB=4，BC=2，请你求出四边形ABCD的面积．问题解决：（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这种材料板的形状如图3所示，并且满足在四边形ABCD中，AD=CD，&ang;ABC=75°，&ang;ADC=60°，DB=4，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请

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6169. （2017•永春三中•模拟）（1）如图1，线段AB的长为4，请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=4，BC=2，请你求出四边形ABCD的面积．
问题解决：
（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这种材料板的形状如图3所示，并且满足在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，DB=4，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．
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时间:2021-03-20 难度:5

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[考点]

等腰直角三角形四边形与面积问题圆周角定理辅助圆问题定弦定角与面积最大问题旋转的性质费马点问题

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1，

画法：以AB为直径画圆O，当点C位于半圆的中点时，直角△ABC的面积最大；

（2）如图2，连接AC，过C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，

在Rt△BCH中，∵BC＝2，∠CBH＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝

BC＝1，HC＝

＝

，
∴AH＝AB+BH＝4+1＝5，
在Rt△ACH中，AC²＝AH²+CH²＝5²+（

）²＝28，
∴S_△ABC＝

AB•CH＝

×4×

＝2

，
∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴S_△ADC＝

AC²＝

×28＝7

，
∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABC+S△_ACD＝2

＝9

；

（3）能，
如图3，连接AC，

∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
将△BDC绕点D顺时针旋转60°得△HDA，连接BH，
则BD＝DH＝4，∠HDB＝60°，
∴△HDB是等边三角形，
∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABD+S_△BCD
＝S_△BDH﹣S_△ABH，
∵BD＝4，是定值，
∴S_△BDH是定值，
∴当△ABH的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，
∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣75°﹣60°＝225°，
∴∠BAH＝360°﹣∠BAD﹣∠HAD＝360°﹣225°＝135°，
∵BH＝BD＝4，
∴点A在定圆⊙O（△ABH的外接圆）上运动，当O、A、D共线时，△ABH的面积最大，此时，OD⊥BH，
设OA交BH于K，则HK＝KB＝2，
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH＝22.5°，
在HK上取一点F，使FH＝AF，则△AKF是等腰直角三角形，
设AK＝FK＝x，则AF＝FH＝

x，
∴2＝x+

x，
∴x＝2

﹣2，
∴△ABH面积的最大值＝

×4×

＝4

﹣4，
∴四边形ABCD的面积的最小值＝

×4²﹣（4

﹣4）＝4

﹣4

+4．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形圆周角定理旋转的性质定弦定角与面积最大问题费马点问题四边形与面积问题辅助圆问题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

25275. （2023•高新一中•八下期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB＝BC＝4

，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是．
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时间:2023-05-16 难度:2 相似度:1.29

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19063. （2016•交大附中•模拟）小明的数学探究小组进行了系列探究活动．
类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．
探索理解：
（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；

尝试体验：
（2）如图2，邻等四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．
解决应用：
（3）如图3，邻等四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4．
小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．

时间:2021-04-27 难度:5 相似度:0.81

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26007. （2024•西工大附中•三模）如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，在直线m上找一点P，使∠CPB=45°（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，作出符合条件的一种情况即可）．
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时间:2024-05-30 难度:3 相似度:0.79

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22371. （2020•铁一中学•八上一月）（1）如图1，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC，BD＝2，则四边形ABCD的面积为　　．
（2）如图2，已知△ABC和△DCE均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝4，CD＝CE，AE＝2，∠EAC＝45°，求AD的长．
（3）如图3，在凸四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝∠DCB＝45°，AB＝4

，请问△ABC的面积是否为定值？若为定值，请求出这个值，若不是，请说明理由．

时间:2021-11-11 难度:5 相似度:0.79

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6495. （2017••模拟）问题探究
（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；
问题解决
（3）如图③，AC为边长为2