如图，AB是⊙O的直径CD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，连接BC，点E在线段OB上，过点E作BD的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G．br /> （1）求证：FC=FG；br /> （2）若AO=2AD=20，点E为OB的中点，求GE的长．br /> img alt="德优题库" src="/math/image/2024-05-30/ec77602aa88a198cc57bc6b2989ad3e4.pn

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26031. （2024•西工大附中•一模）如图，AB是⊙O的直径CD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，连接BC，点E在线段OB上，过点E作BD的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G．
（1）求证：FC=FG；
（2）若AO=2AD=20，点E为OB的中点，求GE的长．
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时间:2024-05-30 难度:4

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[考点]

等腰三角形的判定相似三角形的判定与性质圆周角定理

[答案]

（1）证明见解析过程；
（2）2

．

[解析]

（1）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCB+∠FCG=90°，
∵FE⊥AB，
∴∠OBC+∠EGB=90°，
∴∠FCG=∠EGB，
∵∠EGB=∠FGC，
∴∠FCG=∠FGC，
∴∠FCG=∠FGC，
∴FC=FG；
（2）∵AO=2AD=20，
∴AD=10，AB=2OA=40，
∵点E为OB的中点，
∴BE＝

OB＝

OA＝10，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵∠DCA+∠ACO=90°，
∴∠DCA=∠OCB，
∴∠DCA=∠OBC，
又∵∠D=∠D，
∴△DAC∽△DCB，
∴

＝

＝

，
∴

＝

，
∴DC＝10

，
∴

＝

＝

，
∵∠ACB=∠GEB=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△GEB，
∴

＝

，
∴GE＝EB⋅

＝10×

＝2

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的判定,相似三角形的判定与性质,圆周角定理"，属于"典型题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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26025. （2024•滨河中学•四模）如图，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D，点E是⊙O上一点，

=

，延长AE与DC的延长线交于点F，AG、BG是⊙O的弦，AG=AE．
（1）求证：AF⊥DF；
（2）若AG=6，BG=8，求线段DF的长．
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时间:2024-05-30 难度:2 相似度:1.67

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6518. （2015•东营市•真题）已知在△ABC中，∠B＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD＝AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．

时间:2021-03-20 难度:3 相似度:1.34

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26013. （2024•西工大附中•四模）如图，AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上AB异侧的两点，连接DC交AB于点F，点E在DC延长线上，连接BE，∠CBE=∠BDC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若点C为EF的中点，BC=6，⊙O的半径为5．求AF的长．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:1.34

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26038. （2024•曲江一中•四模）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上不与A、B重合的一点，连接OC并延长与过点B的切线相交于点E，延长AC与BE交于点D，连接BC．
（1）求证：∠CBD=∠ECD；
（2）若DE=BD=3，求⊙O的半径．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:1.34

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25676. （2023•陕西省•真题）如图．已知锐角△ABC，∠B=48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB=PC．且∠PBC=24°．（保留作图痕迹，不写作法）
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时间:2024-02-19 难度:3 相似度:1.33

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19252. （2016•西工大附中•模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD＝BF；
（2）若CF＝1，

＝

，求⊙O的半径．

时间:2021-05-15 难度:4 相似度:1.17

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20861. （2020•高新一中•一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
（1）求证：FG⊥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的长．

时间:2021-09-22 难度:4 相似度:1.17

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650. （2019•陕西省•副题）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

时间:2021-01-14 难度:4 相似度:1.17

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2770. （2020•永春华侨中学•模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AF＝2，AE＝EF＝

，求OA的长．
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时间:2021-03-20 难度:3 相似度:1.17

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23817. （2021•益新中学•五模）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点D是弧BC的中点，连接AC、BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=5，BD=3，求线段AE的长．
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时间:2022-03-17 难度:4 相似度:1.07

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19853. （2021•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且

＝2

，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

时间:2021-06-24 难度:4 相似度:1.07

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6043. （2017•铁一中学•模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径作半圆O，半圆O与BC相交于点D，半圆O与AC相交于点E，且点D为弧BE的中点，半圆O的切线BF与AC的延长线相交于点F．
（1）求证：AC=AB；
（2）若EF：AE=9：16，求sin∠CBF．
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时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.07

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25683. （2023•陕西省•真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD=BC；
（2）若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段BF的长．
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时间:2024-02-19 难度:3 相似度:1.07

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26023. （2024•交大附中•三模）如图，⊙O是四边形ACBD的外接圆，AB为⊙O的直径，DE⊥BC交CB的延长线于点E，且DE为⊙O的切线．
（1）求证：∠DBA=∠EBD；
（2）若tan∠ABD=2，⊙O半径为

，求CE的长．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:1.07

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26029. （2024•西工大附中•四模）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．
（1）求证：∠DBC=∠DCE；
（2）若AB=8，sinD=

，求BE的长．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:1

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2024-05-30 15:41

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