如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m,此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m,在水面以上的桥墩AO，BC都为2m.以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．br /> img alt="德优题库" src="/math/image/2024-01-24/450a8ba5268b46b766

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25627. （2023•爱知中学•二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m,此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m,在水面以上的桥墩AO，BC都为2m.以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
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（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m,遮阳棚宽12m,问此船能否通过桥洞？请说明理由．

时间:2024-01-24 难度:2

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[考点]

二次函数的图像二次函数的性质二次函数图像的最值问题二次函数的应用题

[答案]

（1）此桥拱截面所在抛物线的表达式为y＝−

(x−10)2+6；
（2）此船不能通过桥洞．理由见解析．

[解析]

解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y=a（x-10）²+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6=2，
解得a＝−

，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为y＝−

(x−10)2+6；
（2）此船不能通过，理由：
当y=2+3=5时，−

(x−10)2+6＝5，
解得x=5或x=15，
∵15-5=10＜12，
∴此船不能通过桥洞．

[点评]

本题考查了"二次函数的图像,二次函数的性质,二次函数图像的最值问题,二次函数的应用题"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23089. （2021•高新一中•九上期中）某次数学活动时，数学兴趣小组成员小明研究函数y=-

（x-2）²+|x-2|+3的图象和性质．
（1）如表是该函数y与自变量x的几组对应值：

x	…	-2	0	1	2	3	4	6	…
y	…	-1	m	3.5	3	n	3	-1	…

其中，m的值为        ，n的值为        ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象；
（3）根据函数图象回答下列问题；
①该图象的对称轴为：       ；
②该函数的增减性为：当        时，y随x的增大而增大，当        时，y随x的增大而减少；
③该函数的最值为：当x=       时，函数取得最大值，且最大值为        ．
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时间:2021-12-03 难度:4 相似度:1.5

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.25

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25782. （2024•高新一中•五模）某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）与飞行高度y（单位：m）的部分对应数值如表．

飞行水平距离x/m	0	20	30	50	80	…
飞行高度y/m	0	40	54	70	64	…

根据上面的信息，解决下列问题：
（1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM=125m,MN=5m,若飞机能落到回收区域MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
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时间:2024-04-30 难度:4 相似度:1.25

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781. （2019•陕西省•副题）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-01-26 难度:5 相似度:1.25

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68. （2019•永州市•真题）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:1.17

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21111. （2021•石狮市石光中学•九模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y=

x²+bx+c与x轴交于A（-4，0）、B两点，且过点C（0，-2）．抛物线W₂与抛物线W₁关于原点对称，点C在W₂上的对应点为C′．
（1）求抛物线W₁的表达式；
（2）写出抛物线W₂的表达式；
（3）若点P在抛物线W₁上，试探究：在抛物线W₂上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-10-12 难度:4 相似度:1.13

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19854. （2021•陕西省•真题）已知抛物线y＝﹣x²+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-06-24 难度:4 相似度:0.9

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24638. （2022•陕西省•真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

时间:2022-06-22 难度:4 相似度:0.9

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20160. （2021•漳州双语实验学校•四模）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x²﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点C、点D的坐标；
（2）将抛物线L向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线L'，抛物线L与L'的交点为P，若△PCD是以CD为直角边的直角三角形，请求出m的值．

时间:2021-08-09 难度:4 相似度:0.83

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1145. （2020•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，等边△ABC有　　条对称轴
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=15，等边△EFP的顶点E，F分别在BA，BC上，且BE=BF=2．连接BP并延长，与AC交于点P′，过点P′作P′E′∥PE交AB于点E′，作P′F′∥PF交BC于点F′，连接E′F′，求S_{△P′E′F′}．
问题解决
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，要求花卉种植面积尽可能小，求花卉种植面积（S_△PAB+S_△PCD）的最小值．
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时间:2021-03-20 难度:5 相似度:0.83

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21439. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

时间:2021-10-21 难度:4 相似度:0.83

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23921. （2022•高新一中•二模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB交于点A（-1，4），点B（3，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以B、O、M、N为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求点M的坐标．
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时间:2022-03-30 难度:4 相似度:0.83

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3119. （2018•遵义市•真题）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+

x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣

x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:0.79

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70. （2019•榆林市•期末）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．
（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．
（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:0.75

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20186. （2021•西工大附中•五模）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．过点C作直线l，再分别过点A、B作AM⊥l于M，BN⊥l于N．则线段MN、AM、BN之间的数量关系为___________；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，点P在AB上，点E、F分别是边AC、BC上，且∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．设BP＝x，求四边形CEPF的面积y与x之间的函数关系式；
（3）如图③是一个圆形广场，其中四边形ACBD规划为园林绿化区（四个顶点均在圆上），且要求∠ACB＝90°，AC＝30米，BC＝40米，连接AB、CD交于点P．为了更好的美化环境，需要在AC、BC边上分别确定点E、F，且满足∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．为了整体布局，计划在四边形CEPF内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪．已知花卉每平方米的价格是60元，草坪每平方米的价格是90元，从实用角度希望四边形CEPF的面积最大．根据设计要求，求出当四边形CEPF的面积最大时种植花卉和草坪的总费用．

时间:2021-08-10 难度:5 相似度:0.75

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dysx2021

2024-01-24 19:04

初中数学 | 解答题

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2023年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学二模试卷

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