问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，&ang;A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，&ang;A＝&ang;

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19855. （2021•陕西省•真题）问题提出
（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．

时间:2021-06-24 难度:5

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[考点]

配方法的应用勾股定理平行四边形的性质矩形的性质平行四边形的面积四边形的面积最小值问题特殊角的三角函数值

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）在▱ABCD中，设AB边上的高为h.
∵AD＝6，∠A=45°
∴h=ADsin45°=3

\sqrt{2}

………………………………………（1分）
∵EA＝ED，
∴点E到DC的距离为

\frac{h}{2}

（3分）

（2）存在.如图，分别延长AE与CD，交于点F，
则四边形ABCF是矩形.
设AN＝x，则PC＝x，BO＝2x，BN＝800﹣x，
AM＝OC＝1200﹣2x.
由题意.易知MF＝BO，PF＝BN.…………………………………（5分）

）

（8分）
∴当x＝350时，S四边形OPMN＝470000.
AM＝1200﹣2x＝500＜900，CP＝350＜600.
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000m²
这时，点N到点A的距离为350m.…………………………………（10分）

[点评]

本题考查了"配方法的应用,勾股定理,平行四边形的性质,矩形的性质,平行四边形的面积,四边形的面积最小值问题,特殊角的三角函数值"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

时间:2021-02-06 难度:5 相似度:1.03

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3143. （2018•滨河中学•真题）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，tanB＝

，求⊙O的半径．
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时间:2021-03-20 难度:3 相似度:0.96

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963. （2016•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=

米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

时间:2021-02-07 难度:5 相似度:0.79

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508. （2018•陕西省•副题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，且

＝

，过点D作CB的垂线，与CB的延长线相交于点E，并与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R＝5，AC＝8，求DF的长．

时间:2021-01-08 难度:5 相似度:0.79

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850. （2014•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

时间:2021-02-04 难度:3 相似度:0.76

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23873. （2020•益新中学•九上期末）如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC=∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP=3，AD=9时，求AQ和CQ的长．
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时间:2022-03-28 难度:4 相似度:0.69

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6043. （2017•铁一中学•模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径作半圆O，半圆O与BC相交于点D，半圆O与AC相交于点E，且点D为弧BE的中点，半圆O的切线BF与AC的延长线相交于点F．
（1）求证：AC=AB；
（2）若EF：AE=9：16，求sin∠CBF．
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时间:2021-03-20 难度:4 相似度:0.69

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2897. （2019•永春华侨中学•模拟）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:0.69

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25628. （2023•爱知中学•二模）从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两边与多边形的两边相交，该多边形在这个角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的“投射图形”．
（1）如图1，正方形ABCD的边为4，∠EAF与正方形ABCD的边BC、CD分别交于点E、点F，此时∠EAF对正方形ABCD的“投射图形”就是四边形AECF；若CE=3，CF=2，则四边形AECF的面积为；
（2）如图2，有一块菱形草地ABCD，规划部门计划在这块空地内种植四种花卉，计划在边BC、CD上分别取点E、F，利用三条小路AE、AF、EF把这块草地分割成四块种植区，已知AB=200m,∠D=120°，请帮助规划部门根据下列要求解决问题：
①若∠EAF对菱形ABCD的“投射图形”四边形AECF的面积为菱形ABCD面积的

，求CE+CF的值．
②在①的条件下，要使中间部分（△AEF）种植区面积尽可能小，求△AEF面积的最小值．
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时间:2024-01-24 难度:4 相似度:0.69

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21440. （2020•铁一中学•八模）如图，AB＝8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．

问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为　　；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由。