（1）如图1所示，已知线段OA=4，AB=5，则线段OB长度的最小值为  ．（2）如图2所示，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，点C在线段DE上，若DC=4，CE=2，求BC长．（3）如图3所示，△OAB为等腰三角形，OA=OB=4，以AB为边在其上方作等腰直角△ABC，∠ABC=90°，连接OC，求线段OC的最小值．

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61367. （2023•爱知中学•八上期末）（1）如图1所示，已知线段OA=4，AB=5，则线段OB长度的最小值为．
（2）如图2所示，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，点C在线段DE上，若DC=4，CE=2，求BC长．
（3）如图3所示，△OAB为等腰三角形，OA=OB=4，以AB为边在其上方作等腰直角△ABC，∠ABC=90°，连接OC，求线段OC的最小值．
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共享时间:2023-02-23 难度:1

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[考点]

三角形综合题

[答案]

（1）1；（2）2；（3）4﹣4

[解析]

解：（1）连接OB，则AO+OB≥AB，

即BO≥5﹣4＝1，
即OB的最小值为1，
故答案为：1；
（2）∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
则△ABD≌△ACE（SAS），
则BD＝CE＝2，∠ADB＝∠E＝45°，
则∠ADC＝45°+45°＝90°，
则BC²＝BD²+CD²＝2²+4²＝20，
则BC＝2

；
（3）作BE⊥BO使BE＝BO，连接OE、CE，

∵∠CBE+∠OBC＝90°，∠OBC+∠OBA＝90°，
∴∠OBA＝∠CBE，
∵OB＝BE，AB＝BC，
∴△OBA≌△EBC（SAS），
则CE＝OB＝OA＝4，
在等腰直角三角形OBE中，OE＝

BO＝4

，
则CO+CE≥OE，即OC+4≥4

，
即OC的最小值为：4

﹣4．

[点评]

本题考查了"三角形综合题 ",属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27732. （2023•爱知中学•八上一月）在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB=10，AC=6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．根据可以判定△ADC≌△MDB，得出AC=BM．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABM中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围．
【方法感悟】我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等，往往可以考虑作“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．若AB=3，BD=2，求AC的长．
【应用提升】
（3）已知：如图3，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2．D、E是三角形边AB、AC上两个动点，且AD=CE，连接BE，CD．求（BE+CD）²的最小值．
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共享时间:2023-10-18 难度:1 相似度:2

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23065. （2021•铁一中学•八上期中）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系　；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
（3）若动点P满足

＝

，求

的值（请利用图3进行探求）．

共享时间:2021-11-19 难度:4 相似度:1.25

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24222. （2021•石狮市石光中学•七下期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=4，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
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拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM=3时，求DE的长．

共享时间:2021-05-06 难度:5 相似度:1.25

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6245. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图①，在 Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0＜α＜120°）得△DBE，连接AD，EC，直线AD、EC交于点M．
（1）当α＝30°时，∠BAD＝　　．
（2）在旋转的过程中，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若△ABC中，∠ABC＝120°，其余条件不变，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:5 相似度:1.2

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23012. （2021•高新一中•八上期中）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），点O（0，0）．
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（1）当P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
①如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，则点A'的坐标为；
②如图②，当A'在y轴上时，求P点坐标；
（2）如图③，当P是边OB上的一点（点P不与点O，B重合），沿着PA折叠该纸片，当B落在x轴的对应点为B'，求AP解析式．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:1.17

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24639. （2022•陕西省•真题）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为　　．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．

共享时间:2022-06-21 难度:5 相似度:1.17

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2023-02-23

初中数学 | 解答题

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2023-2024学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（上）期末数学试卷

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