span style="font-size:10.5pt">span style="line-height:150%">span style="font-family:Calibri">span style="line-height:150%">span style="font-family:新宋体">如图，已知△/span&gt

首页 > 试题列表 > 单题解析

23065. （2021•铁一中学•八上期中）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系　；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
（3）若动点P满足

＝

，求

的值（请利用图3进行探求）．

共享时间:2021-11-19 难度:4

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

等腰直角三角形三角形综合题勾股定理勾股定理的逆定理

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）结论：PA²+PB²＝PQ²．
理由：如图1，过点C作CD⊥AB于点D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB，
∵PA²＝（AD+PD）²＝（CD+PD）²＝CD²+2CD•PD+PD²，
PB²＝（BD﹣PD）²＝（CD﹣PD）²＝CD²﹣2CD•PD+PD²，
∴PA²+PB²＝2CD²+2PD²＝2（CD²+PD²），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC²＝CD²+PD²，
∴PA²+PB²＝2PC²，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ＝90°，
∴2PC²＝PQ²，
∴PA²+PB²＝PQ²，
故答案为：PA²+PB²＝PQ²；

（2）结论不变．
理由：如图2，过C作CD⊥AB于点D，

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB，
∵PA²＝（AD+PD）²＝（CD+PD）²＝CD²﹣2CD•PD+PD²，PB²＝（DP﹣BD）²＝（PD﹣CD）²＝CD²﹣2CD•PD+PD²，
∴PA²+PB²＝2CD²+2PD²＝2（CD²+PD²），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC²＝CD²+PD²，
∴PA²+PB²＝2PC²，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ＝90°，
∴2PC²＝PQ²，
∴PA²+PB²＝PQ²；

（3）过点C作CD⊥AB于点D，
∵

＝

，
∴点P只能在线段AB上或在线段BA的延长线上，
①如图3，当点P在线段AB上时，

∵

＝

，
∴PA＝

AB＝

CD，PD＝

CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP＝

＝

CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC＝

CD，
∴

＝

；
②如图4，当点P在线段BA的延长线上时，

∵

＝

，
∴PA＝2AB＝4CD，PD＝

CD，
在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP＝

＝

CD，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC＝

CD，
∴

＝

；
综上可知

的值为

或

．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形,三角形综合题,勾股定理,勾股定理的逆定理"，属于"难典题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请告知发布者本人！

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27732. （2023•爱知中学•八上一月）在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB=10，AC=6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．根据可以判定△ADC≌△MDB，得出AC=BM．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABM中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围．
【方法感悟】我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等，往往可以考虑作“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．若AB=3，BD=2，求AC的长．
【应用提升】
（3）已知：如图3，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2．D、E是三角形边AB、AC上两个动点，且AD=CE，连接BE，CD．求（BE+CD）²的最小值．
$德优题库$

共享时间:2023-10-18 难度:1 相似度:1.25

解析

纠错

下载

组卷

23398. （2020•晋江市南侨中学•八上二月）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE，AF平分∠DAE交BC于F．
（1）探究线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明；
（2）若BD=3、CF=4，求AD的长．
$德优题库$

共享时间:2021-12-15 难度:4 相似度:1.17

解析

纠错

下载

组卷

23009. （2021•高新一中•八上期中） $德优题库$ 已知等腰三角形ABC的底边BC=2

cm，D是腰AB上一点，且CD=4cm，BD=2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:1.17

解析

纠错

下载

组卷

23062. （2021•铁一中学•八上期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5

．
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长．
$德优题库$

共享时间:2021-11-19 难度:4 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

6245. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图①，在 Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0＜α＜120°）得△DBE，连接AD，EC，直线AD、EC交于点M．
（1）当α＝30°时，∠BAD＝　　．
（2）在旋转的过程中，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若△ABC中，∠ABC＝120°，其余条件不变，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:5 相似度:0.9

解析

纠错

下载

组卷

21716. （2021•石狮市石光中学•七模）问题提出
（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是，位置关系是；
$德优题库$
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC=BC，若BD=3，AD=9，求CD的长；
问题解决
（3）如图③是某公园的一个面积为36π m²的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC、AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，设AD的长为x，△BDC的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当点D为

的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．

共享时间:2021-07-25 难度:5 相似度:0.83

解析

纠错

下载

组卷

23012. （2021•高新一中•八上期中）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），点O（0，0）．
$德优题库$
（1）当P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
①如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，则点A'的坐标为；
②如图②，当A'在y轴上时，求P点坐标；
（2）如图③，当P是边OB上的一点（点P不与点O，B重合），沿着PA折叠该纸片，当B落在x轴的对应点为B'，求AP解析式．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:0.83

解析

纠错

下载

组卷

25703. （2023•陕西省•副题）如图，在△ABC中，∠B=90°，作CD⊥AC，且使CD=AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．求证：CE=AB．
$德优题库$