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25375. (2021•滨河中学•八下期中) 如图,已知在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=4,且∠ABC=120°,点E、F分别为AD、CD上两个动点,且∠EBF=60°.
(1)试猜想线段BE、BF之间的关系,并证明你的结论.
(2)求出在点E、F运动的过程中△DEF周长的最小值.
(3)在点E、F运动的过程中△DEF的面积是否存在最大值,如果存在,请你求出△DEF面积的最大值,如果不存在,请说明理由.
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共享时间:2021-05-30 难度:5
[考点]
垂线段最短   等边三角形的性质   全等三角形的判定与性质   菱形的判定与性质   四边形综合题   
[答案]
见试题解答内容
[解析]
解:(1)结论:BE=BF.
理由:如图1中,连接BD.
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∵AB=BC=CD=AD=4,
∴四边形ABCD是菱形,
∵∠ABC=120°,
∴∠ABD=∠CBD=60°,
∴△ABD,△BCD都是等边三角形,
∴BA=BD,∠ABD=∠EBF=60°,
∵∠BAE=∠BDF=60°,
∴△BAE≌△BDF,
∴BE=BF.

(2)∵BE=BF,∠EBF=60°,
∴△EBF是等边三角形,
∴BE=BF=EF,
根据垂线段最短可知,当BE⊥AD时,BE的值最小,此时BE=AB•sin60°=2
 ∴△DEF周长的最小值为4+2
(3)∵△ABE≌△DBF,
∴S△ABE=S△DBF,
∴S四边形BEDF=S△ABD=定值=4 ,
∴S△DEF=S四边形BEDF-S△BEF=4-S△BEF,
∴当EF的值最小时,△BEF的面积最小,此时△DEF的面积最大,
∴△DEF的面积的最大值=4-=
[点评]
本题是四边形综合题目,考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短的性质等知识;熟练掌握菱形的性质,等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
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24843. (2022•爱知中学•八下期中) 德优题库已知:如图,△ABC为等边三角形,AE=BD,AD,CE相交于点F.
(1)求证:AD=CE;
(2)求∠AFC的度数;
(3)若CP⊥AD于P,PF=7,EF=2,求CE的长.
共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.4
6039. (2017•铁一中学•模拟) 已知如图,点D在等边△ABC的边AB上,作DG∥BC,交AC于点G,点F在边AC上,连接DF并延长,交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.
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共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.4
45255. (2024•汇知中学•七下一月) 如图所示,修一条路将A,B两村庄与公路MN连起来,怎样修才能使所修的公路最短?画出线路图,并说明理由.
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共享时间:2024-04-25 难度:3 相似度:1.2
1052. (2019•陕西省•真题) 问题提出:
1)如图1,已知△ABC,试确定一点D,使得以ABCD为顶点的四边形为平行四边形,请画出这个平行四边形;
问题探究:
2)如图2,在矩形ABCD中,AB4BC10,若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC,且使∠BPC90°,求满足条件的点P到点A的距离;
问题解决:
3)如图3,有一座塔A,按规定,要以塔A为对称中心,建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE.根据实际情况,要求顶点B是定点,点B到塔A的距离为50米,∠CBE120°,那么,是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE?若可以,求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积;若不可以,请说明理由.(塔A的占地面积忽略不计)
共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.2
1045. (2019•陕西省•真题) 如图,点AEFB在直线l上,AEBFACBD,且ACBD,求证:CFDE
                                                                                                                     
共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.2
25103. (2022•铁一中学•八下期中) 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F,分别在AB,BC,AC边上,且BE=CF,BD=CE,∠A=30°,求∠DEF的度数.
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共享时间:2022-05-18 难度:3 相似度:1.2
24841. (2022•爱知中学•八下期中) 如图,AD⊥BD,AC⊥BC,AD与BC交于点O,AD=BC.
求证:OC=OD.
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共享时间:2022-05-25 难度:3 相似度:1.2
25677. (2023•陕西省•真题) 如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D.使AD=AC.在边AC上截取AF=AB,连接DF.求证:DF=CB.
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共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.2
24220. (2021•交大附中•七下期中) 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠1=∠2,AD=EC.
(1)求证:△ABD≌△EDC;
(2)若AB=2,BE=3,求CD的长.
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共享时间:2021-05-06 难度:4 相似度:1.2
23090. (2021•高新一中•九上期中) 问题提出:西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积.现有一块四边形空地(如图2,四边形ABCD)需要铺上草皮,但由于规划图纸被污损,仅能看清两条对角线AC,BD的长度分别为40cm,30cm及夹角∠BEC=60°,你能利用这些数据,帮助工作人员求出这块空地的面积吗?
建立模型:我们先来解决较为简单的三角形的情况.
(1)如图1,△ABC中,D为AB上任意一点(不与A,B两点重合),连接CD,CD=a,AB=b,∠ADC=α(α为CD与AB所夹的锐角),则△ABC的面积为        .(用a,b,α表示)
问题解决:请你解决工作人员的问题.
(2)如图2,四边形ABCD中,E为对角线AC,BD的交点,已知AC=40cm,BD=30cm,∠BEC=60°,求四边形ABCD的面积.(写出必要的解答过程)
新建模型:
(3)若四边形ABCD中,E为对角线AC,BD的交点,已知AC=a,BD=b,∠BEC=α(α为AC与BD所夹的锐角),直接写出四边形ABCD的面积为        .(用a,b,α表示)
模型应用:
(4)如图3,四边形ABCD中,AD+BC=AB,∠BAD=∠ABC=60°.已知BD=a,求四边形ABCD的面积.(“新建模型”中的结论可直接利用)
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共享时间:2021-11-25 难度:5 相似度:1.2
21196. (2019•爱知中学•一模) 如图,已知AC⊥AB于点A,BD⊥AB于点B,AF=BE,CE=DF,求证:∠C=∠D.
共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.2
882. (2013•陕西省•真题) 问题探究:
(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;
(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由.
问题解决:
(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分?如若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.

 
共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.2
838. (2014•陕西省•真题) 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在边AB上,使DB=BC,过点D作EF⊥AC,分别交AC于点E,CB的延长线于点F.
求证:AB=BF.

                                                                                                                  
共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.2
811. (2015•陕西省•真题) 如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.
(1)如图①,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为      
(2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值;
(3)如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小?若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由.
共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.2
806. (2015•陕西省•真题) 如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:AD=CE.

 
共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.2

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2021-05-30

初中数学 | 解答题

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