如图，在长方形ABCD中，点P为AD上一个动点，沿PB将△ABP折叠得到△EBP，点A的对称点为点E，射线BE交长方形ABCD的边于点F，若AB=4，AD=8，直线BE过长方形ABCD一边的中点时，AP的长为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;/．br /> img alt="德优题库"

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23057. （2021•晋江市南侨中学•八上期中）如图，在长方形ABCD中，点P为AD上一个动点，沿PB将△ABP折叠得到△EBP，点A的对称点为点E，射线BE交长方形ABCD的边于点F，若AB=4，AD=8，直线BE过长方形ABCD一边的中点时，AP的长为．
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共享时间:2021-11-19 难度:4

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[考点]

全等三角形的判定与性质勾股定理矩形的性质翻折变换（折叠问题）

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：当点F是AD的中点时，如图1：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB＝4，AF＝4，
∴BF＝

＝4

，
由翻折可知：AB＝BE＝4，
设PA＝PE＝x，则PF＝4﹣x，EF＝4

﹣4，
在Rt△PEF中，PE²+EF²＝PF²，
∴x²+（4

﹣4）²＝（4﹣x）²，
∴x＝4

﹣4，
∴PA＝4

﹣4；
当点F是CD的中点时，延长AD交BF的延长线于H，如图2：

∵∠C＝90°，BC＝8，CF＝DF＝2，
∴BF＝

＝2

，
∵DH∥BC，
∴∠H＝∠FBC，
在△DFH和△CBF中，

，
∴△DHF≌△CBF（AAS），
∴DH＝BC＝8，FH＝BF＝2

，
∵AB＝BE＝4，
∴EF＝2

﹣4，
∴EH＝4

﹣4，
设PA＝PE＝y，则PD＝8﹣y，PH＝16﹣y，
在Rt△PEH中，PE²+EH²＝PH²，
∴y²+（4

﹣4）²＝（16﹣y）²，
∴y＝

﹣1，
∴PA＝

﹣1，
综上所述，PA的长为4

﹣4或

﹣1．
故答案为：4

﹣4或

﹣1．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质,翻折变换（折叠问题）"，属于"难典题"，熟悉考点是解题的关键。

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