如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE＝CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．  

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19116. （2012•贵阳市•真题）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

共享时间:2016-06-20 难度:3

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[考点]

等边三角形的性质等腰直角三角形全等三角形的判定与性质正方形的性质

[答案]

答案详见解答

[解析]

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF．
又BC＝DC，
∴BC﹣BE＝DC﹣DF，即EC＝FC
∴CE＝CF，

（2）解：连接AC，交EF于G点，

∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，
∴AC⊥EF，
在Rt△AGE中，EG＝sin30°AE＝

×2＝1，
∴EC＝

，
设BE＝x，则AB＝x+

，
在Rt△ABE中，AB²+BE²＝AE²，即（x+

）²+x²＝4，
解得x₁＝

，x₂＝

（舍去）
∴AB＝

＝

，
∴正方形ABCD的周长为4AB＝2

．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性等边三角形的性质等腰直角三角形正方形的性质 "，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27930. （2023•汇知中学•九上期中）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP=

连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．则CQ的长为；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ．试说明∠ABC与∠ACQ相等；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为12，CQ=

，求正方形ADBC的边长．
$德优题库$

共享时间:2023-11-21 难度:4 相似度:1.5

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2891. （2019•永春华侨中学•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，求证：BE＝AF．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:1.5

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21709. （2021•交大附中•七模）如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF⊥AE于点F，点G在AE上，且∠ABG=∠E．求证：AG=DF．
$德优题库$

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.5

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6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
$德优题库$

共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.5

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915. （2017•陕西省•真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．

共享时间:2017-07-10 难度:4 相似度:1.5

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24660. （2018•师大附中•八上期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．

共享时间:2019-03-02 难度:3 相似度:1.5

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25703. （2023•陕西省•副题）如图，在△ABC中，∠B=90°，作CD⊥AC，且使CD=AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．求证：CE=AB．
$德优题库$

共享时间:2023-07-21 难度:3 相似度:1.5

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24843. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=BD，AD，CE相交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠AFC的度数；
（3）若CP⊥AD于P，PF=7，EF=2，求CE的长．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.5

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6495. （2017••模拟）问题探究
（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；
问题解决
（3）如图③，AC为边长为2

的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．

共享时间:2017-06-23 难度:5 相似度:1.44

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21196. （2019•爱知中学•一模）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF=BE，CE=DF，求证：∠C=∠D．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.25

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6239. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.25

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21716. （2021•石狮市石光中学•七模）问题提出
（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是，位置关系是；
$德优题库$
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC=BC，若BD=3，AD=9，求CD的长；
问题解决
（3）如图③是某公园的一个面积为36π m²的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC、AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，设AD的长为x，△BDC的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当点D为

的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．