某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．br /> 【问题发现】br /> （1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP=span>img latex="\sqrt{7}" src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABYAAAARCAYAAADZsVyDAAAB4UlEQVQ4T62UPYsUQRCG32rWRFDxBwhGoneB

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27930. （2023•汇知中学•九上期中）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP=

连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．则CQ的长为；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ．试说明∠ABC与∠ACQ相等；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为12，CQ=

，求正方形ADBC的边长．
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[考点]

等边三角形的性质全等三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质正方形的性质

[答案]

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[解析]

解：（1）∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，

，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴

；
故答案为：

．
（2）在等腰△ABC中，AB＝BC，
∴

．
在等腰△APQ中，AP＝PQ，
∴

．
∵∠APQ＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠PAQ．
∴△BAC∽△PAQ．
∴

．
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ．
∴△BAP∽△CAQ．
∴∠ABC＝∠ACQ．
（3）如图③，连接AB，
∵四边形ADBC是正方形，
∴

．
∵点Q是正方形APEF的对称中心，
∴

．
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ．
∴∠BAP＝∠CAQ．
∵

，
∴△ABP∽△ACQ．
∴

．
∵

，
∴

．
设PC＝x，则BC＝AC＝8+x，
在Rt△APC中，AP²＝AC²+PC²，即12²＝（8+x）²+x²，
解得

．
∵x＞0，
∴

．
∴正方形ADBC的边长为

．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/21 10:44:08；用户：黎艺明；邮箱：237845914@qq.com；学号：777974

[点评]

本题考查了"等边三角形的性质全等三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质正方形的性质 ",属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

915. （2017•陕西省•真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．

共享时间:2017-07-10 难度:4 相似度:1.5

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19116. （2012•贵阳市•真题）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

共享时间:2016-06-20 难度:3 相似度:1.5

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6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
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共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.5

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21709. （2021•交大附中•七模）如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF⊥AE于点F，点G在AE上，且∠ABG=∠E．求证：AG=DF．
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共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.5

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2891. （2019•永春华侨中学•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，求证：BE＝AF．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:1.5

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24843. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=BD，AD，CE相交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠AFC的度数；
（3）若CP⊥AD于P，PF=7，EF=2，求CE的长．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.5

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20179. （2021•西工大附中•五模）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，连接BD，∠A＝∠E，AC＝ED．求证：∠CBD＝∠CDB．

共享时间:2021-06-03 难度:3 相似度:1.25

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21196. （2019•爱知中学•一模）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF=BE，CE=DF，求证：∠C=∠D．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.25

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24220. （2021•交大附中•七下期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，AD=EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB=2，BE=3，求CD的长．
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共享时间:2021-05-06 难度:4 相似度:1.25

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.25

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24841. （2022•爱知中学•八下期中）如图，AD⊥BD，AC⊥BC，AD与BC交于点O，AD=BC．
求证：OC=OD．
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25103. （2022•铁一中学•八下期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE，∠A=30°，求∠DEF的度数．
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共享时间:2022-05-18 难度:3 相似度:1.25

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25677. （2023•陕西省•真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
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6239. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.25

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.25

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