已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．                

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83. （2020•雅安市•真题）已知二次函数y＝ax²+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．

时间:2020-12-26 难度:4

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[考点]

一元一次不等式组的应用函数函数的图象

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax²+2x+c
则有

，
解得

，
∴二次函数的解析式为y＝x²+2x﹣3，
令y＝0，得到x²+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0）．

（2）如图1中连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大，
∴此时△DAC的面积最大，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴

，
解得，

，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x²+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x²+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x²﹣2x+3＝﹣x²﹣3x，
∴S_△ACD＝

•DG•OA＝

（﹣x²﹣3x）×3＝﹣

x²﹣

x＝﹣

（x+

）²+

，
∴当x＝﹣

时，S_最大＝

，点D（﹣

，﹣

），
∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣

，﹣

）．

（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），

当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴N″（2，5）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．

[点评]

本题考查了"二次函数的几何最值问题待定系数法求二次函数二次函数综合应用 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

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，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为

，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:2

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，0），直线BC的解析式为y＝﹣

x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）向左平移

个单位，已知点M为抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2020-12-26 难度:4 相似度:2

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475. （2017•陕西省•副题）如图，已知抛物线L：y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S_△_ABC＝2S_△_OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-01-08 难度:5 相似度:1.67

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时间:2023-04-24 难度:2 相似度:1.33

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时间:2021-04-27 难度:3 相似度:0.58

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亦世凡华

2020-12-26 16:41

初中数学 | 解答题

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更新:2020-12-28 11:10浏览量:2001

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