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475. （2017•陕西省•副题）如图，已知抛物线L：y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S_△_ABC＝2S_△_OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-10 难度:5

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[考点]

函数函数的图象

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）由A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA，得
OB＝OC＝3，
即B（3，0），C（0，﹣3），
把A，B，C的坐标代入函数解析式，得

，
解得

，
抛物线的解析式为y＝x²﹣2x﹣3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），
则

，
解得：

．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴当x＝1时，y＝﹣2．
∴抛物线对称轴上存在点M（1，﹣2）符合题意；

（3）设N（x，x²﹣2x﹣3），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，OC＝3．
∴S_△_ABC＝

AB•OC＝

×4×3＝6．
∵S_△_ABC＝2S_△_OCN，
∴2×

OC•|x|＝6，即|x|＝2，
解得x＝2或x＝﹣2．
当x＝2时，x²﹣2x﹣3＝﹣3．此时N（2，﹣3）．
当x＝﹣2时，x²﹣2x﹣3＝5．此时N（﹣2，5）．
综上所述，符合条件的点N的坐标是（2，﹣3）或（﹣2，5）．

[点评]

本题考查了"待定系数法求二次函数二次函数综合应用 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请告知发布者本人！

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

83. （2020•雅安市•真题）已知二次函数y＝ax²+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.67

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84. （2020•绵阳市•真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（

，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为

，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.67

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85. （2020•重庆市•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣

，0），直线BC的解析式为y＝﹣

x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）向左平移

个单位，已知点M为抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.67

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24172. （2019•爱知中学•七下期中） $德优题库$ 早晨小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图是小明出行的过程中，他距西安的距离（千米）与他离家的时间（时）之间的关系图象．
根据图象，回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是，因变量是．
（2）小明家距西安千米；小明从家出发，经过小时到达西安；在西安停留了小时．
（3）已知小明从家出发8小时时，他距西安112千米，则他返回时的速度是多少？

共享时间:2019-05-05 难度:3 相似度:1

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亦世凡华

2021-01-10

初中数学 | 解答题

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