问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是　        　；探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点

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6069. （2017•晋江市南侨中学•模拟）问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是　　；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP＝4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．

时间:2021-03-20 难度:5

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[考点]

等腰直角三角形正方形的性质四边形综合题四边形的面积最大值问题辅助圆问题定点径长与线段最值问题轴对称变换作图将军饮马问题

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4

，
∴当P与O重合时，PA的值最小，最小值＝2

，
当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，
∴2

≤PA≤4．
故答案为2

≤PA≤4．

（2）存在．
理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．

∵PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
∴点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，
∵∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，
∵PA＝PE＝PF，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∵PA的最小值为2

，
∴线段EF的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值为4．

（3）如图3中，在图2的基础上，以A为圆心，AB为半径作⊙A，PA交EF于点O．

由题意点P在⊙A上，
∵△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，
∴S_{四边形AMPN}＝S_△AEM+S_△ANF＝S_△AEF﹣S_△AMN，
∵PA＝AE＝AF＝4，
∴S_△EAF＝8，
∴△AMN的面积最小时，四边形AMPN的面积最大，
易知当PA⊥MN时，△AMN的面积最小，此时OA＝2

，OM＝ON＝OP＝4﹣2

，
∴MN＝8﹣4

，
∴S_△AMN＝

×（8﹣4

）•2

＝8

﹣8，
∴四边形AMPN的面积的最大值＝8﹣（8

﹣8）＝16﹣8

．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形正方形的性质四边形综合题轴对称变换作图将军饮马问题定点径长与线段最值问题辅助圆问题四边形的面积最大值问题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27864. （2023•爱知中学•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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时间:2024-10-17 难度:1 相似度:1.13

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

时间:2021-02-03 难度:5 相似度:1.13

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

时间:2021-02-05 难度:3 相似度:1.13

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1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

时间:2021-03-01 难度:5 相似度:1.13

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20480. （2020•晋江市南侨中学•八模）如图，AB=8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．
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问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为_________；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．

时间:2021-09-06 难度:5 相似度:0.98

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21440. （2020•铁一中学•八模）如图，AB＝8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．

问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为　　；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由。

时间:2021-10-21 难度:5 相似度:0.98

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6119. （2017•漳州双语实验学校•模拟）问题发现：
（1）如图1，已知线段AB．画出平面内满足∠ACB=90°的所有点C组成的图形．
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问题探究：
（2）如图2，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是AC和BD上的动点，且EF=6，点P为EF的中点．已知AC=16，BD=12．连接BP、CP，求△BPC面积的最大值．
问题解决：
（3）如图3，等腰直角三角形ABC的斜边AC=8，点D、E分别是直角边AB和BC上的动点，以DE为斜边在DE的左下侧（包括左侧和下侧）作等腰直角三角形DFE，连接CF，则线段CF的长度是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

时间:2021-03-20 难度:5 相似度:0.98

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782. （2019•陕西省•暑假）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

时间:2021-01-26 难度:5 相似度:0.92

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20161. （2021•西工大附中•四模）问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，若S_△BCE＝4．则矩形ABCD的面积为______．
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝60°，BC边上的中线，AD＝6，求△ABC面积的最大值．
问题解决
（3）为迎接十四运，园林设计部门准备在奥体广场用鲜花拼成一个平行四边形的花卉展览场地供市民观赏．如图③所示，在平行四边形ABCD中，点E为AD边上一点且DE＝3AE，∠BEC＝60°，AB＝6米．为了种植更多的鲜花，要求四边形ABCD的面积尽可能大．请问四边形ABCD面积是否存在最大值？如果存在，请计算四边形ABCD面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

时间:2021-08-09 难度:5 相似度:0.92

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6320. （2017•漳州双语实验学校•模拟）问题发现．
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

时间:2021-03-20 难度:5 相似度:0.81

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19116. （2012•贵阳市•真题）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

时间:2021-05-06 难度:3 相似度:0.75

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652. （2019•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

时间:2021-01-14 难度:5 相似度:0.75

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6044. （2017•铁一中学•模拟）小敏在研究最值问题时遇到了这样的一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AD、AB、BC、CD上，则四边形EFGH的周长是否存在最小值？她决定按照老师讲的由特殊到一般逐步化归的思路去研究，请你帮助她完成下面的探究过程．
探究1：如图2，在AF=2，DH=5的条件下，请在图2中画出周长最小的四边形EFGH，并求出周长的最小值；
探究2：在探究1的启发下，小敏画出了图3：作F关于AD的对称点F₁，作F关于BC的对称点F₂，作F₁关于CD的对称点F₃，连接F₂F₃交CD于H，交BC于点G，连接F₁H交AD于E，连接EF、FG，借助图3，他发现四边形EFGH的周长有最小值，并顺利解决了遇到的这个问题．请求出四边形EFGH的周长的最小值．
拓广探究：解决了上述问题后，小敏又想到了新的问题，当四边形EFGH的周长最小时，四边形EFGH的面积是否存在最大值？请帮助小敏解决这个问题，若存在，请求出此时面积的最大值，若不存在请说明理由．
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