问题发现：（1）如图1，已知线段AB．画出平面内满足&ang;ACB=90°的所有点C组成的图形．问题探究：（2）如图2，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是AC和BD上的动点，且EF=6，点P为EF的中点．已知AC=16，BD=12．连接BP、CP，求△BPC面积的最大值．问题解决：（3）如图3，等腰直角三角形ABC的斜边AC=8，点D、E分别是直角边AB和BC上的动点，以DE为斜边在DE的左下侧（包括左侧和下侧）作等腰直角三角形DFE，连接CF，则线段CF的长度是否

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6119. （2017•漳州双语实验学校•模拟）问题发现：
（1）如图1，已知线段AB．画出平面内满足∠ACB=90°的所有点C组成的图形．
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问题探究：
（2）如图2，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是AC和BD上的动点，且EF=6，点P为EF的中点．已知AC=16，BD=12．连接BP、CP，求△BPC面积的最大值．
问题解决：
（3）如图3，等腰直角三角形ABC的斜边AC=8，点D、E分别是直角边AB和BC上的动点，以DE为斜边在DE的左下侧（包括左侧和下侧）作等腰直角三角形DFE，连接CF，则线段CF的长度是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-21 难度:5

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[考点]

等腰直角三角形平行四边形的面积四边形综合题四点共圆定点径长与线段最值问题

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1中，所有点C组成的图形是以AB为直径的⊙O（点A，B除外）．

（2）如图2中，作OH⊥BC于H，连接OP．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴OA＝OC＝8，OD＝OC＝6，
∴BC＝

＝

＝10，
∵OH⊥BC，
∴

•BC•OH＝

•OC•OD，
∴OH＝

＝

，
∵EF＝6，PE＝PF，∠EOF＝90°
∴OP＝

EF＝3，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，3为半径的⊙O，
当的P在HO的延长线上时，△P′BC的面积最大，
最大值＝

•BC•P′H＝

×10×（3+

）＝39．

（3）如图3中，取DE的中点O，连接OF，OB，BF．

∵∠DFE＝∠DBE＝90°，DO＝OE，
∴OF＝OD＝OB＝OE，
∴D，F，B，E四点共圆，
∴∠FBA＝∠DEF＝45°，
∴点F的运动轨迹是直线BF，作CF′⊥BF于F′，
根据垂线段最短可知CF的最小值＝CF′的长，
∵AC＝8，BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝4

，
∵∠CBF′＝∠FCB′＝45°，
∴CF′＝BF′＝4，
∴CF的最小值为4．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形四边形综合题平行四边形的面积定点径长与线段最值问题四点共圆 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27864. （2023•爱知中学•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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共享时间:2024-01-30 难度:1 相似度:1.2

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.2

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.2

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1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.2

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4513. （2018•永春三中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，A（2，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2018-06-04 难度:4 相似度:1.03

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6069. （2017•晋江市南侨中学•模拟）问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是　　；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP＝4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．

共享时间:2017-05-28 难度:5 相似度:0.98

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4689. （2018•石狮市石光中学•模拟）（1）如图1，四边形ABCD是矩形，试在AD边上找一点P，使△BCP为等腰三角形；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝12，点E在AB边上，BE＝3，点P是矩形ABCD内或边上一点，且PE＝5，点Q是CD边上一点，求PQ的最值；
问题解决：
（3）如图3，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，BC＝6，DC＝4，点E在AB边上，BE＝2，点P是四边形ABCD内或边上一点，且PE＝2，求四边形PADC面积的最值．

共享时间:2018-06-25 难度:5 相似度:0.73

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25275. （2023•高新一中•八下期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB＝BC＝4

，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是．
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共享时间:2022-05-29 难度:2 相似度:0.7

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24660. （2018•师大附中•八上期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．

共享时间:2019-03-02 难度:3 相似度:0.7

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25703. （2023•陕西省•副题）如图，在△ABC中，∠B=90°，作CD⊥AC，且使CD=AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．求证：CE=AB．
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共享时间:2023-07-21 难度:3 相似度:0.7

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24123. （2018•汇知中学•八下期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AC、BD为两条对角线，且AC⊥BD，AC=BD，
（1）把AC平移到DE的位置，方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；
（2）判断△BDE的形状．
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共享时间:2018-05-26 难度:4 相似度:0.7

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25985. （2024•西工大附中•六模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，请用尺规作图的方法求作一点P，使得PB=PC，∠PBC=45°．（保留作图痕迹，不写作法）
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共享时间:2024-03-12 难度:3 相似度:0.7

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23423. （2020•西工大附中•八上二月）（1）如图（1），等边△AOB的边OB在x轴上，点A在第一象限，边OB=6．
①点A到x轴的距离为；
②如图（2），点C为边OB上一点，且BC=2，连接AC，以AC为腰作等腰Rt△ACD，其中∠ACD=90°，若顶点D在直线AC的右边，求点D的坐标；
（2）如图（3），四边形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，AB∥OC，B（1，

），∠OCB=60°，点E，点F分别在边OC，BC上，若以A，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形．求点E的坐标．
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共享时间:2021-01-09 难度:5 相似度:0.69

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6320. （2017•漳州双语实验学校•模拟）问题发现．
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-06-26 难度:5 相似度:0.69

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6495. （2017••模拟）问题探究
（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；
问题解决
（3）如图③，AC为边长为2