如图，已知在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，且&ang;ABC=120&deg;，点E、F分别为AD、CD上两个动点，且&ang;EBF=60&deg;．br /> （1）试猜想线段BE、BF之间的关系，并证明你的结论．br /> （2）求出在点E、F运动的过程中△DEF周长的最小值．br /> （3）在点E、F运动的过程中△DEF的面积是否存在最大值，如果存在，请你求出△DEF面积的最大值，如果不存在，请说明理

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25375. （2021•滨河中学•八下期中）如图，已知在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，且∠ABC=120°，点E、F分别为AD、CD上两个动点，且∠EBF=60°．
（1）试猜想线段BE、BF之间的关系，并证明你的结论．
（2）求出在点E、F运动的过程中△DEF周长的最小值．
（3）在点E、F运动的过程中△DEF的面积是否存在最大值，如果存在，请你求出△DEF面积的最大值，如果不存在，请说明理由．
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时间:2023-05-26 难度:5

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[考点]

垂线段最短等边三角形的性质全等三角形的判定与性质菱形的判定与性质四边形综合题

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）结论：BE=BF．
理由：如图1中，连接BD．
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∵AB=BC=CD=AD=4，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
∴BA=BD，∠ABD=∠EBF=60°，
∵∠BAE=∠BDF=60°，
∴△BAE≌△BDF，
∴BE=BF．

（2）∵BE=BF，∠EBF=60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴BE=BF=EF，
根据垂线段最短可知，当BE⊥AD时，BE的值最小，此时BE=AB•sin60°=2

∴△DEF周长的最小值为4+2

．
（3）∵△ABE≌△DBF，
∴S△ABE=S△DBF，
∴S四边形BEDF=S△ABD=定值=4

，
∴S△DEF=S四边形BEDF-S△BEF=4

-S△BEF，
∴当EF的值最小时，△BEF的面积最小，此时△DEF的面积最大，
∴△DEF的面积的最大值=4

•

．

[点评]

本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

24843. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=BD，AD，CE相交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠AFC的度数；
（3）若CP⊥AD于P，PF=7，EF=2，求CE的长．

时间:2023-03-16 难度:2 相似度:1.4

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6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
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时间:2021-03-20 难度:3 相似度:1.4

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45255. （2024•汇知中学•七下一月）如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
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时间:2024-11-25 难度:3 相似度:1.2

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1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

时间:2021-03-01 难度:5 相似度:1.2

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

时间:2021-03-01 难度:3 相似度:1.2

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25103. （2022•铁一中学•八下期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE，∠A=30°，求∠DEF的度数．
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时间:2023-04-17 难度:3 相似度:1.2

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24841. （2022•爱知中学•八下期中）如图，AD⊥BD，AC⊥BC，AD与BC交于点O，AD=BC．
求证：OC=OD．
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时间:2023-03-16 难度:3 相似度:1.2

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25677. （2023•陕西省•真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
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时间:2024-02-19 难度:3 相似度:1.2

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24220. （2021•交大附中•七下期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，AD=EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB=2，BE=3，求CD的长．
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时间:2022-05-06 难度:4 相似度:1.2

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23090. （2021•高新一中•九上期中）问题提出：西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积．现有一块四边形空地（如图2，四边形ABCD）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能看清两条对角线AC，BD的长度分别为40cm，30cm及夹角∠BEC=60°，你能利用这些数据，帮助工作人员求出这块空地的面积吗？
建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况．
（1）如图1，△ABC中，D为AB上任意一点（不与A，B两点重合），连接CD，CD=a，AB=b，∠ADC=α（α为CD与AB所夹的锐角），则△ABC的面积为．（用a，b，α表示）
问题解决：请你解决工作人员的问题．
（2）如图2，四边形ABCD中，E为对角线AC，BD的交点，已知AC=40cm，BD=30cm，∠BEC=60°，求四边形ABCD的面积．（写出必要的解答过程）
新建模型：
（3）若四边形ABCD中，E为对角线AC，BD的交点，已知AC=a，BD=b，∠BEC=α（α为AC与BD所夹的锐角），直接写出四边形ABCD的面积为．（用a，b，α表示）
模型应用：
（4）如图3，四边形ABCD中，AD+BC=AB，∠BAD=∠ABC=60°．已知BD=a，求四边形ABCD的面积．（“新建模型”中的结论可直接利用）
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时间:2021-12-03 难度:5 相似度:1.2

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21196. （2019•爱知中学•一模）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF=BE，CE=DF，求证：∠C=∠D．

时间:2021-10-16 难度:3 相似度:1.2

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

时间:2021-02-05 难度:3 相似度:1.2

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

时间:2021-02-04 难度:2 相似度:1.2

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．