img alt="德优题库" src="/math/image/2021-11-11/025251/8bc9488ec3ec02ed2eb03a9c629392be.png" style="vertical-align:middle;FLOAT:right" />如图，在四边形ABCD中，&ang;B=&ang;D=90&deg;，AB=BC，&ang;DAC=30&deg;，AC=2，设Q、

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22358. （2020•铁一中学•八上一月） $德优题库$ 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC，∠DAC=30°，AC=2，设Q、R分别是AB、AD上的动点，则△CQR的周长最小值是（　　）

﹣1

﹣

时间:2021-11-11 难度:4

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组卷

[考点]

等腰直角三角形勾股定理轴对称-最短路线问题将军饮马问题

[答案]

[解析]

解：如图，分别作点C关于AB、AD的对称点E、F，

连接EF与AB、AD交于点Q、R，
此时△CQR的周长最小．
根据对称性得：CR＝ER，CQ＝FQ，
∴CR+CQ+QR＝ER+FQ+QR＝EF，
∴△CQR的周长即为EF的长．
在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝2，
∴CD＝1，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴BC＝AC•sin45°＝

，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠CDB＝∠CAB＝45°，
∠CBD＝∠CAD＝30°，
在△CBD中，作CH⊥DB于H，
∴BD＝DH+BH＝1×cos45°+

cos30°
＝

＝

．
∵CD＝DE，CB＝BF，
∴EF＝2BD＝

．
故选：D．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形,勾股定理,轴对称-最短路线问题,将军饮马问题"，属于"压轴题"，熟悉考点是解题的关键。

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

24826. （2022•南靖县星光中学并入船中•八下期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线，CD=3，则BC的长是（　　）
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A.6

B.3 $\text{[math]}$

C.3+3 $\text{[math]}$

D.3+3 $\text{[math]}$

时间:2023-03-16 难度:2 相似度:1.5

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组卷

58. （2016•武汉市•期末） △ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，且AD＝

，E、F、G分别为边BC、CA、AB上的点，则△EFG周长的最小值为（　　）

B.2

C.3

D.3

时间:2020-12-25 难度:3 相似度:1.25

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22357. （2020•铁一中学•八上一月） $德优题库$ 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x²+y²=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（　　）

A.①②

B.①②③

C.①②④

D.①②③④

时间:2021-11-11 难度:3 相似度:1.25

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组卷

25089. （2022•铁一中学•八下期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，∠CAB的平分线交BC于点D，则S_△ABD为（　　）
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