问题探究：三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，正方形MNFE的顶点M、E在BC上，顶点N在AB上，请以点B为位似中心，作△ABC的内接正方形．（不写作法）．（2）如图2，△ABC中，BC＝12，&ang;B＝45°，AD&perp;BC于点D，AD＝8，请以点D为位似中心，作△ABC的内接正方形，并求出所作正方形的面积（不写作法）．问题解决（3）如图3，将（2）中的△ABC翻折得到四边形ABEC，对角线AE、BC相交于点D，请以点D为位似中

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19254. （2016•西工大附中•模拟）问题探究：三角形的内接四边形指顶点在三角形各边上的四边形．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，正方形MNFE的顶点M、E在BC上，顶点N在AB上，请以点B为位似中心，作△ABC的内接正方形．（不写作法）．
（2）如图2，△ABC中，BC＝12，∠B＝45°，AD⊥BC于点D，AD＝8，请以点D为位似中心，作△ABC的内接正方形，并求出所作正方形的面积（不写作法）．
问题解决
（3）如图3，将（2）中的△ABC翻折得到四边形ABEC，对角线AE、BC相交于点D，请以点D为位似中心作正方形MNPQ，使得点M、N、P、Q在四边形ABEC的各边上．
要求：①写出作法，证明四边形MNPQ是正方形；
②求出正方形MNPQ的面积．

共享时间:2016-06-06 难度:5

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[考点]

相似三角形的判定与性质位似变换正方形的判定与性质四边形综合题

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）如图1中，请以点B为位似中心，△ABC的内接正方形M′N′F′E′如图所示．

（2）如图2中，以点D为位似中心，△ABC的内接正方形M′N′E′F′如图所示．

正方形MNFE的顶点M、F在BC上，且DM＝2DF．延长DE交AC于E′，作E′F′⊥BC于F′，延长DN交AB于N′，作N′M′⊥BC于M′，正方形M′N′E′F′即为所求．
设正方形M′N′E′F′的边长为x，
∵N′E′∥BC，
∴△AN′E′∽△ABC，
∴

＝

，
∴x＝

，
∴正方形M′N′E′F′的面积为

．

（3）如图3中，

作正方形M′N′P′Q′，使得M′N′∥AD，MN交BC于R，P′Q′交BC于T，且RN′＝RM′，RD＝2DT，延长DP′交AC于P，延长DN′交AB于N，延长DM′交BE于M，延长DQ′交EC于Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形MNPQ即为所求．设PQ交BC于G，MN交BC于H．
由题意AB＝AD＝8，DC＝4，
∴AD＝2DC，
∵△BCE是由△ABC翻折得到，RN′＝RM′，TP′＝TQ′，
∴根据对称性可知，PQ∥AE∥MN，
∵P′T：DT＝3：2，
∴PG：DG＝3：2，
∵PG：GC＝AD：DC＝2：1，
∴AP：PC＝DG：GC＝4：3，同理可证AN：BN＝4：3，
∴AN：BN＝AP：PC，
∴PN∥BC，同理可证MQ∥BC，
∴四边形MNPQ是平行四边形，易知∠MNP＝90°，
∴四边形MNPQ是矩形，
∵P′N′∥PN，P′Q′∥PQ，
∴P′N′：PN＝DP′：DP＝P′Q′：PQ，
∵P′N′＝P′Q′，
∴PN＝PQ，
∴四边形MNPQ是正方形．设边长为a，
∵PN∥BC，
∴△ANP∽△ABC，
∴

＝

，
∴a＝

∴正方形M′N′E′F′的面积为

．

[点评]

本题考查了"正方形的判定与性质四边形综合题相似三角形的判定与性位似变换 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

转载声明：

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23874. （2020•益新中学•九上期末）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC=12，求出矩形DEFG的面积． $德优题库$

共享时间:2021-03-28 难度:5 相似度:1.5

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.25

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27864. （2023•爱知中学•九上期末）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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共享时间:2024-01-30 难度:1 相似度:1.25

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1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.25

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.25

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23819. （2021•益新中学•五模）问题发现：
（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则

＝　

　．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．
问题拓展：
（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-18 难度:5 相似度:1.18

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23284. （2021•师大附中•九上期中）问题探究
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作∠CDF=∠ABC，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是；
问题解决
（2）如图2，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中∠BAC=90°，∠ABC与∠ADC互余，AB=2AC，AD=100m，CD=70m，求BD的长．
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共享时间:2021-11-26 难度:5 相似度:1.17

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361. （2012•陕西省•真题）如图，正三角形ABC的边长为3+

．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

共享时间:2020-07-03 难度:5 相似度:1

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6345. （2017•永春三中•模拟）（1）如图①，已知BD为矩形ABCD的对角线，请作出点A到BD最短距离．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，矩形EMQG为△ABC的一个内接矩形，EG交DB于点F，过点F作AN⊥BC于点N，延长GE交DC于点P，则四边形PCNF的面积与四边形EMQG的面积有什么关系？请说明理由．
（3）如图③，在△ABC，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，矩形EMQG是△ABC的一个内接矩形（点M、Q在边BC上，点E、G分别在边AC、AB上）．请在图③中画出对角线MG最短的矩形EMQG，请说明理由，并求出此时MG的长．
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共享时间:2017-06-08 难度:5 相似度:0.83

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6320. （2017•漳州双语实验学校•模拟）问题发现．
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-06-26 难度:5 相似度:0.79

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25735. （2023•滨河中学•八模）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM=PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
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