问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，&ang;ABC＝60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A

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6495. （2017••模拟）问题探究
（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；
问题解决
（3）如图③，AC为边长为2

的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．

时间:2021-03-20 难度:5

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[考点]

互余关系等边三角形的性质等腰直角三角形全等三角形的判定与性质互余模型正方形的性质四点共圆旋转的性质费马点问题

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）结论：AM⊥BN．
理由：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°，
∵BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN＝90°，
∴∠ABN+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AM⊥BN．

（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB＝90°，作EF⊥PA于F，作EG⊥PB于G，连接EP．

∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°，
∴四边形EFPG是矩形，
∴∠FEG＝∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝∠BEG，
∵EA＝EB，∠EFA＝∠G＝90°，
∴△AEF≌△BEG，
∴EF＝EG，AF＝BG，
∴四边形EFPG是正方形，
∴PA+PB＝PF+AF+PG﹣BG＝2PF＝2EF，
∵EF≤AE，
∴EF的最大值＝AE＝2

，
∴△APB周长的最大值＝4+4

．

（3）如图③中，延长DA到K，使得AK＝AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH＝PB．

∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠APN＝∠BAM+∠ABP＝∠CBN+∠ABN＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵∠AKB＝60°，
∴∠AKB+∠APB＝180°，
∴A、K、B、P四点共圆，
∴∠BPH＝∠KAB＝60°，
∵PH＝PB，
∴△PBH是等边三角形，
∴∠KBA＝∠HBP，BH＝BP，
∴∠KBH＝∠ABP，∵BK＝BA，
∴△KBH≌△ABP，
∴HK＝AP，
∴PA+PB＝KH+PH＝PK，
∴当PK的值最大时，△APB的周长最大，
∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，
∴△PAB的周长最大值＝2