如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD的延长线交于点F，CG∥AB交直线AF于点G （1）若AC＝BC，求证：CG是⊙O的切线；（2）如果DE＝CE，AC＝8且D为EF的中点，求直径AB的长．                                        

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6067. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD的延长线交于点F，CG∥AB交直线AF于点G
（1）若AC＝BC，求证：CG是⊙O的切线；
（2）如果DE＝

CE，AC＝8

且D为EF的中点，求直径AB的长．

时间:2021-03-20 难度:3

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[考点]

互余关系勾股定理相似三角形的判定与性质切线定理

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）连接OC，

∵AC＝BC，
∴

＝

，
∴OC⊥AB，
∵AB∥CG，
∴∠OCG＝90°，
∴OC⊥CG，
∴CG是⊙O的切线；
（2）连接AD，BD．

∵DE＝

CE，D是EF的中点，
∴可以假设CE＝4k，DE＝3k，则DF＝3k，
∵AF是切线，AB是直径，
∴∠BAF＝∠ADB＝90°，
∴∠DAF+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠DAF＝∠ABD，
∵∠ACF＝∠ABD，
∴∠FAD＝∠ACF，
∴∠F＝∠F，∠FAD＝∠ACF，
∴△FAD∽△FCA，
∴

＝

，
∴AF²＝FD•FC，
∴AF²＝30k²，
在Rt△AEF中，AE＝

＝

k，
∵AE•EB＝DE•CE，
∴BE＝2

k，
∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA＝∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE＝2

k，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC²+BC²＝AB²，
∴64×5+24k²＝54k²，
∴k＝

，
∴AB＝3

k＝24．

[点评]

本题考查了"勾股定理切线定理相似三角形的判定与性互余关系 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

807. （2015•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

时间:2021-02-03 难度:3 相似度:1.75

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6243. （2016•黄冈市•真题））如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：
（1）∠PBC＝∠CBD；
（2）BC²＝AB•BD．

时间:2021-03-20 难度:3 相似度:1.5

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24637. （2022•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．

时间:2022-06-22 难度:4 相似度:1.5

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650. （2019•陕西省•副题）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

时间:2021-01-14 难度:4 相似度:1.5

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1050. （2019•陕西省•真题）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．

时间:2021-03-01 难度:5 相似度:1.5

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846. （2014•陕西省•真题）如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求AC的长．

时间:2021-02-04 难度:2 相似度:1.5

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22440. （2021•师大附中•九上一月）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，

=2，求

的值；
拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=8，AC=4

，则AD的长为．
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时间:2021-11-15 难度:5 相似度:1.35

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6043. （2017•铁一中学•模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径作半圆O，半圆O与BC相交于点D，半圆O与AC相交于点E，且点D为弧BE的中点，半圆O的切线BF与AC的延长线相交于点F．
（1）求证：AC=AB；
（2）若EF：AE=9：16，求sin∠CBF．
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时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.35

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19853. （2021•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且

＝2

，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

时间:2021-06-24 难度:4 相似度:1.35

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25626. （2023•爱知中学•二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），点D在⊙O上，且满足AC=AD，直线BP切⊙O于点B，连接DC并延长交BP于E点，过点D作DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：BE=BD．
（2）若OC=3，AO=5，求DF的长．
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时间:2024-01-24 难度:4 相似度:1.25

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6218. （2016•乐山市•真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB＝

，且sin∠CFD＝

，求⊙O的半径与线段AE的长．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.25

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961. （2016•陕西省•真题）如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．
求证：（1）FC=FG；（2）AB²=BC•BG．

时间:2021-02-07 难度:4 相似度:1.17

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26038. （2024•曲江一中•四模）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上不与A、B重合的一点，连接OC并延长与过点B的切线相交于点E，延长AC与BE交于点D，连接BC．
（1）求证：∠CBD=∠ECD；
（2）若DE=BD=3，求⊙O的半径．
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时间:2024-05-30 难度:4 相似度:1.17

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4512. （2016•师大附中•真题）如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连接PO交⊙O于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PC=3，PF=1，求AB的长．
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