（1）如图1，已知AC、BC为⊙O的两条弦，点D为⊙O外一点，则&ang;ACB　　&ang;ADB（请用“＜”“＞”或“＝”填空）（2）①如图2，若等边△ABC内接于⊙O，AB＝4，CD为⊙O的切线，则△ABD的面积为　　． ②如图3，在△ABC中，&ang;ACB＝60°，CD为AB边上的高．若CD＝4，试判断△ABC的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图4，正方形ABCD的

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4539. （2018•石狮市石光中学•模拟）（1）如图1，已知AC、BC为⊙O的两条弦，点D为⊙O外一点，则∠ACB　　∠ADB（请用“＜”“＞”或“＝”填空）

（2）①如图2，若等边△ABC内接于⊙O，AB＝4，CD为⊙O的切线，则△ABD的面积为　　．
②如图3，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高．若CD＝4，试判断△ABC的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图4，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为边AB、BC上的动点，且∠EDF＝45°，求四边形DEBF面积的最大值.

时间:2021-03-20 难度:5

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[考点]

全等三角形的判定与性质解直角三角形三角形的外接圆与外心圆的综合题定角定高与面积最小问题旋转的性质半角模型

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1，设AD与⊙O交于E，连接BE，则∠C＝∠AEB，

∵∠AEB＞∠D，
∴∠ACB＞∠ADB；
故答案为：＞；
（2）①如图2，连接CO并延长交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，
∴

＝

，
∴CE⊥AB，AE＝BE＝2，
∴CE＝2

，
∵CD为⊙O的切线，
∴CE⊥CD，
∴CD∥AB，
∴△ABD的面积＝

AB•CE＝

×4＝4

，
故答案为：4

；
②如图3中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．

∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，
∴OE＝

OA＝x，AE＝

x，
∵OC+OE≥CD，
∴3x≥4，
∴x≥

，
∴x的最小值为

，
∵AB＝2

x，
∴AB的最小值为

；
∴△ABC的面积的最小值＝

＝

；
（3）∵四边形DEBF面积＝S_{正方形ABCD}﹣S_△ADE﹣S_△CDF，
∴当S_△ADE+S_△CDF的和最小时，四边形DEBF的面积有最大值，
如图4，将△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，

∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵

，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
∵△DEF的面积＝△DFM的面积＝S_△ADE+S_△DCF＝

EF×CD＝2EF，
∴△DEF面积＝2EF．
∵EF＝AE+CF，AE+BE＝AB＝4，BF+CF＝BC＝4，
∴EF+BE+BF＝AB+BC＝8，
∴BE+BF＝8﹣EF，
∴2BE•BF+BE²+BF²＝（8﹣EF）²＝64+EF²﹣16EF，且BE²+FB²＝EF²，
∴BE•BF＝32﹣8EF，
∵（BE﹣BF）²≥0，
∴BE²+BF²≥2BE•BF，
∴EF²≥64﹣16EF
∴（EF+8）²≥128，
∴EF≥8

﹣8，或EF≤﹣8

﹣8（舍去），
∴EF的最小值为8

﹣8，
∴△DEF面积的最小值为16

﹣16，
∴四边形DEBF面积的最大值＝4×4﹣16

+16＝32﹣16

．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性三角形的外接圆与外心圆的综合题旋转的性质解直角三角形定角定高与面积最小问题半角模型 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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时间:2021-10-16 难度:5 相似度:1.43

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时间:2024-10-16 难度:1 相似度:1.14

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jdfz514

2021-03-20 15:56

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更新:2018-06-06 06:31浏览量:854

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