问题提出br /> （1）如图①，△ABC为等边三角形，若AB=2，则△ABC的面积为 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/．br /> 问题探究br /> （2）如图②，在Rt△ABC中，&ang;ABC=90&deg;，AC=3，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE&perp;BD交BC边

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23922. （2022•高新一中•二模）问题提出
（1）如图①，△ABC为等边三角形，若AB=2，则△ABC的面积为．
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=3，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD=1，求图中阴影部分的面积．
问题解决
（3）如图③，是某公园的一个圆形施工区示意图，其中⊙O的半径是4米，公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD，连接AC、BD，现准备在△ADC区域种植花卉供游人欣赏．按设计要求，A、B、C、D四个点都在圆上，∠ADB=∠BDC=60°．设BD的长为x米，△ADC的面积为y平方米．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，为让游人有更好的观赏体验，△ADC花卉区域的面积越大越好，那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值．
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时间:2022-03-30 难度:5

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[考点]

求二次函数的解析式二次函数的性质二次函数与面积最值问题等边三角形的性质全等三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质解直角三角形圆周角定理圆的综合题

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图①，AD⊥BC，

∵△ABC为等边三角形，AB＝2，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，

＝sinB＝sin60°，
∴

＝

，
∴AD＝

，
∴△ABC的面积＝

AB•AD＝

×2×

＝

，
故答案为：

；
（2）如图②，过点D作DH⊥BC于点H，

∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DEB+∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝90°﹣∠DBE＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝ED，
∵DH⊥BC，
∴BH＝EH，
∴DH＝

BE＝BH＝EH，
设DH＝BH＝EH＝a，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵DH⊥BC，
∴AB∥DH，
∴△CDH∽△CAB，
∴

＝

，
∵AD＝1，AC＝3，
∴CD＝3﹣1＝2，
∴

＝

，
∴AB＝

a，CE＝a，
∴BC＝CE+BE＝a+2a＝3a，
∵AB²+BC²＝AC²，
∴

a²+9a²＝9，
∴

a²＝1，
∴S_阴影＝S_△ABC﹣S_△BDE
＝

AB•BC﹣

BE•DH
＝

a•3a﹣

×2a•a
＝

a²﹣a²
＝

a²
＝1；
（3）①设AC与BD相交于点E，连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥AB于点H，

∵∠ADB＝∠BDC＝60°，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠BDC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
在△ABO和△ACO中，

，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
同理△ABO≌△CBO（SSS），
∴S_△ABO＝S_△ACO＝S_△CBO，
∴S_△ABC＝3S_△ABO，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠AOB＝120°，
在Rt△OAH和Rt△OBH中，

，
∴Rt△OAH≌Rt△OBH（HL），
∴∠AOH＝∠BOH，AH＝BH，
在Rt△OAH中，OA＝4，∠AOH＝

∠AOB＝60°，
∴cos∠AOH＝cos60°＝

＝

，sin∠AOH＝sin60°＝

＝

，
∴OH＝

OA＝2，AH＝

OA＝2

，
∴AB＝2AH＝4

，
∴S_△ABC＝3S_△ABO＝3×

×4

×2＝12

，
∵∠ABE＝∠DBA，∠BAE＝∠BDA＝60°，
∴△ABE∽△DBA，
∴

＝

，
即S_△DBA＝

S_△ABE，
∵∠CBE＝∠DBC，∠BCE＝∠BDC＝60°，
∴△CBE∽△DBC，
∴

＝

，
即S_△DBC＝

S_△CBE，
∴S_{四边形ABCD}＝S_△DBA+S_△DBC
＝

S_△ABE+

S_△CBE，
＝

（S_△ABE+S_△CBE）
＝

S_△ABC
＝

×12

＝

x²，
∴S_△ADC＝S_{四边形ABCD}﹣S_△ABC
＝

x²﹣12

，
即y＝

x²﹣12

；
∵BD的长度大于AB，小于等于直径，
∴4

＜x≤8，
∴y与x之间的函数关系式为y＝

x²﹣12

（4

＜x≤8）；
②由①知，y与x之间的函数关系式为y＝

x²﹣12，
则对称轴为y轴，
∵

＞0，
∴x＞0时，y随x的增大而增大，
∵4

＜x＜8，
∴当x＝8时，y有最大值，
即当BD为⊙O的直径时，y取最大值，
即y＝

×8²﹣12

＝4

，
∴花卉区域△ADC面积的最大值是4

．

[点评]

本题考查了"求二次函数的解析式,二次函数的性质,二次函数与面积最值问题,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,圆周角定理,圆的综合题"，属于"压轴题"，难度较大，熟悉题型是解题的关键。

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6494. （2017••模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在点Q使△BCQ的面积最大，若存在，请求出点Q坐标．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.24

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6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
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时间:2021-03-20 难度:3 相似度:1.22

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26025. （2024•滨河中学•四模）如图，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点D，点E是⊙O上一点，

，延长AE与DC的延长线交于点F，AG、BG是⊙O的弦，AG=AE．
（1）求证：AF⊥DF；
（2）若AG=6，BG=8，求线段DF的长．
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时间:2024-05-30 难度:2 相似度:1.22

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26017. （2024•滨河中学•六模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠ABE=2∠A；
（2）若tanA＝

，BD=4，求BE的长．
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时间:2024-05-30 难度:2 相似度:1.22

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24843. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=BD，AD，CE相交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠AFC的度数；
（3）若CP⊥AD于P，PF=7，EF=2，求CE的长．

时间:2023-03-16 难度:2 相似度:1.22

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20186. （2021•西工大附中•五模）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．过点C作直线l，再分别过点A、B作AM⊥l于M，BN⊥l于N．则线段MN、AM、BN之间的数量关系为___________；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，点P在AB上，点E、F分别是边AC、BC上，且∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．设BP＝x，求四边形CEPF的面积y与x之间的函数关系式；
（3）如图③是一个圆形广场，其中四边形ACBD规划为园林绿化区（四个顶点均在圆上），且要求∠ACB＝90°，AC＝30米，BC＝40米，连接AB、CD交于点P．为了更好的美化环境，需要在AC、BC边上分别确定点E、F，且满足∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．为了整体布局，计划在四边形CEPF内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪．已知花卉每平方米的价格是60元，草坪每平方米的价格是90元，从实用角度希望四边形CEPF的面积最大．根据设计要求，求出当四边形CEPF的面积最大时种植花卉和草坪的总费用．

时间:2021-08-10 难度:5 相似度:1.19

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

时间:2021-02-03 难度:3 相似度:1.11

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6239. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

时间:2021-03-20 难度:3 相似度:1.11

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20179. （2021•西工大附中•五模）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，连接BD，∠A＝∠E，AC＝ED．求证：∠CBD＝∠CDB．

时间:2021-08-10 难度:3 相似度:1.11

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21196. （2019•爱知中学•一模）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF=BE，CE=DF，求证：∠C=∠D．

时间:2021-10-16 难度:3 相似度:1.11

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

时间:2021-02-04 难度:2 相似度:1.11

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24220. （2021•交大附中•七下期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，AD=EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB=2，BE=3，求CD的长．
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时间:2022-05-06 难度:4 相似度:1.11

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.11

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24841. （2022•爱知中学•八下期中）如图，AD⊥BD，AC⊥BC，AD与BC交于点O，AD=BC．
求证：OC=OD．
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时间:2023-03-16 难度:3 相似度:1.11

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

时间:2021-03-01 难度:3 相似度:1.11

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gxyz515

2022-03-30 10:07

初中数学 | 解答题

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2022年陕西省西安市高新一中中考数学二模试卷

更新:2022-03-14 12:37浏览量:990

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