如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2-2x+c经过点A（-1，0）和点C（0，-3），将抛物线L1沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线L2．（1）求

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27863. （2023•爱知中学•九上期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L₁：y=ax²-2x+c经过点A（-1，0）和点C（0，-3），将抛物线L₁沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线L₂．
（1）求抛物线L₁与L₂的表达式；
（2）若点P在抛物线L₂上，且在x轴下方，过点P作PD⊥x轴于点D，连接PO，若△AOC与△POD相似，请求出点P的坐标．

时间:2024-10-17 难度:1

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[考点]

[答案]

（1）抛物线L1的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；抛物线L2的表达式为y＝x2﹣4x；（2）或（1，﹣3）

[解析]

解：（1）∵抛物线L₁：y＝ax²﹣2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3），
∴

，
解得：

，
∴抛物线L₁的表达式为：y＝x²﹣2x﹣3，
∵y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）²﹣4，将抛物线L₁沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线L₂，
∴抛物线L₂的表达式为：y＝（x﹣2）²﹣4＝x²﹣4x+4﹣4＝x²﹣4x，即y＝x²﹣4x；
（2）∵PD⊥x轴于点D，
∴∠PDO＝∠AOC＝90°，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
在y＝x²﹣4x中，令y＝0，x²﹣4x＝0，
解得：x₁＝0，x₂＝4，
∴抛物线L₂与x轴的交点为（0，0），（4，0），
∵点P在抛物线L₂上，且在x轴下方，
∴设点P（m，m²﹣4m），0＜m＜4，则D（m，0），
∴OD＝m，DP＝4m﹣m²，
如图1，当△AOC∽PDO时，则