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25718. （2024•高新一中•一模）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为．
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共享时间:2024-03-13 难度:4

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[考点]

垂径定理关于原点对称的点的坐标

[答案]

（-14，0）．

[解析]

解：连接PO，

∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=6、MQ=8，
∴OM=10，
又∵MP'=r=4，
∴OP'=MO+MP'=10+4=14，
∴AB=2OP'=2×14=28；
∴A点坐标为（-14，0），
故答案为：（-14，0）．

[点评]

本题考查了"垂径定理,关于原点对称的点的坐标"，属于"难典题"，得出AB取得最大值时点P的位置是解答本题的关键．

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