如图，抛物线W：y=-x2+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点记为D．（1）求抛物线W的函数表达式及顶点D的坐标．（2）连接AC，若线段AC上有一点P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长的最大值．（3）在（2）中，当PQ的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为W′，抛物线W′的顶点记为D′，它的对称轴与x轴交于点E′．怎样平移才能使得以P、Q、D′、E′为顶点的四边形是菱形？

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6219. （2017•漳州双语实验学校•一模）如图，抛物线W：y=-x²+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点记为D．
（1）求抛物线W的函数表达式及顶点D的坐标．
（2）连接AC，若线段AC上有一点P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长的最大值．
（3）在（2）中，当PQ的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为W′，抛物线W′的顶点记为D′，它的对称轴与x轴交于点E′．怎样平移才能使得以P、Q、D′、E′为顶点的四边形是菱形？
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[考点]

求二次函数的解析式二次函数图象与几何变换二次函数与平移问题二次函数的动点问题二次函数与线段最值问题二次函数综合应用勾股定理菱形的性质

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x²+bx+c，得

，
解得

．
故该抛物线的解析式为：y＝﹣x²﹣2x+3．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+t，
将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得

，
解得

．
即直线AC的解析式为y＝x+3．
设P点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则Q点坐标为（x，﹣x²﹣2x+3），
PQ＝（﹣x²﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x²﹣3x＝﹣（x+

）²+

，
∴当x＝﹣

时，PQ有最大值

．

（3）由（2）知，P（﹣

），Q（﹣

，

），PQ＝

，
设W'的解析式为y＝﹣（x﹣m）²+n，
∴E'（m，0），D'（m，n），
∴D'E'＝|n|
∴PE'＝

∵以P、Q、D′、E′为顶点的四边形是菱形，
∴D'E'＝PE'＝PQ＝

，
∴|n|＝

＝

，
∴n＝±

，m＝﹣

，
∴抛物线W'的顶点坐标为（﹣

，

）或（﹣

﹣

，

），
∵抛物线W的顶点坐标为（﹣1，4），
将抛物线W向右平移﹣

+1＝﹣

，再向下平移

，得到以P、Q、D′、E′为顶点的四边形是菱形，或将抛物线W向左平移﹣1+

＝

，再向下平移

，得到以P、Q、D′、E′为顶点的四边形是菱形．

[点评]

本题考查了"二次函数图象与几何变二次函数综合应用勾股定理菱形的性质二次函数与平移问题二次函数的动点问题二次函数与线段最值问题求二次函数的解析式 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

相同试题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

2896. （2015•云南省•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.5

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6344. （2017•永春三中•模拟）如图，直线AB与抛物线l：y=-x²+bx+c分别交于A（0，5），B（5，0）两点，这条抛物线的顶点为C，对称轴与直线AB交于点D．
（1）求抛物线l的函数表达式，并直接写出点C、D的坐标．
（2）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点记为C′，对称轴与x轴的交点记为E，如果以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形，那么应将抛物线l怎样平移？为什么？
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时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.34

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6244. （2017•晋江市南侨中学•模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知：抛物线y＝ax²+bx+3经过点P（1，4）和点Q（2，﹣3）．
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况．
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形．请你写出平移过程，并说明理由．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.3

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19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

时间:2021-05-15 难度:4 相似度:1.17

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23818. （2021•益新中学•五模）已知二次函数y=x²+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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时间:2022-03-17 难度:4 相似度:1.17

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6319. （2017•漳州双语实验学校•模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.17

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6168. （2014•德州市•真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.17

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474. （2017•陕西省•副题）如图，已知抛物线L：y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S_△_ABC＝2S_△_OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

时间:2021-01-08 难度:5 相似度:1.13

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20155. （2021•漳州双语实验学校•四模）如图，抛物线C₁：y＝x²﹣2x﹣8与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点O为坐标原点，D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，过D、E、F三点的抛物线记为C₂．
（1）求抛物线C₂的表达式，并判断抛物线C₂是否可以由抛物线C₁平移得到？
（2）点P为抛物线C₁上任意一点，连接OP，取线段OP的中点Q．求证：点Q在抛物线C₂上．

时间:2021-08-09 难度:4 相似度:1.13

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6068. （2017•晋江市南侨中学•模拟） 24．（10分）如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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时间:2021-03-20 难度:4 相似度:1.13

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1093. （2020•陕西省•真题）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

时间:2021-03-04 难度:4 相似度:1.13

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1051. （2019•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax²+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．

时间:2021-03-01 难度:5 相似度:1.13

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880. （2013•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表达式可表示为y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）]．

时间:2021-02-05 难度:3 相似度:1.13

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809. （2015•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x²+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．

时间:2021-02-03 难度:4 相似度:1.13

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60. （2013•泉州市•真题）已知抛物线y＝a（x﹣3）²+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y₁）、B（n，y₂）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y₁与y₂的大小．

时间:2020-12-26 难度:3 相似度:1.13

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xgd513

2021-03-20 16:22

初中数学 | 解答题

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