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<span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线<i>y</i>＝<i>x</i><sup>2</sup>+<i>bx</i>+<i>c</i>与直线<i>AB</i>相交于<i>A</i>，<i>B</i>两点，其中<i>A</i>（﹣3，﹣4），<i>B</i>（0，﹣1）．</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">（1）求该抛物线的函数表达式；</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">（2）点<i>P</i>为直线<i>AB</i>下方抛物线上的任意一点，连接<i>PA</i>，<i>PB</i>，求△<i>PAB</i>面积的最大值；</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线<i>y</i>＝<i>a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sub>1</sub><i>x</i>+<i>c</i><sub>1</sub>（<i>a</i><sub>1</sub>≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点<i>C</i>，点<i>D</i>为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点<i>E</i>，使以点<i>B</i>，<i>C</i>，<i>D</i>，<i>E</i>为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点<i>E</i>的坐标；若不存在，请说明理由．</span></span></span></span></span><br /> <img height="195" src="/uploads/meth/20201226/488034ffc5753523ab90e2356a64b629.png" width="378" />
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<span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">解：（1）将点<i>A</i>、<i>B</i>的坐标代入抛物线表达式得</span></span></span></span></span><img height="38" src="/uploads/meth/20201226/e8f153b9be37b77333852d67aba64dc4.png" width="84" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">，解得</span></span></span></span></span><img height="38" src="/uploads/meth/20201226/404337dde613e41daac05d96bd4c2fed.png" width="44" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">故抛物线的表达式为：<i>y</i>＝<i>x</i><sup>2</sup>+4<i>x</i>﹣1；</span></span></span></span></span><br /> <br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">（2）设直线<i>AB</i>的表达式为：<i>y</i>＝<i>kx</i>+<i>t</i>，则</span></span></span></span></span><img height="38" src="/uploads/meth/20201226/06a7eca4441c6c0fe8920a0dce7cbf86.png" width="76" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">，解得</span></span></span></span></span><img height="38" src="/uploads/meth/20201226/7ddec7ff5a153719ef25afa5fd9b3873.png" width="44" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">故直线<i>AB</i>的表达式为：<i>y</i>＝<i>x</i>﹣1，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">过点<i>P</i>作<i>y</i>轴的平行线交<i>AB</i>于点<i>H</i>，</span></span></span></span></span><br /> <img height="188" src="/uploads/meth/20201226/b6e5fcee4dfddb44a7fb6d68c51607bc.png" width="173" /><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">设点<i>P</i>（<i>x</i>，<i>x</i><sup>2</sup>+4<i>x</i>﹣1），则<i>H</i>（<i>x</i>，<i>x</i>﹣1），</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">△<i>PAB</i>面积<i>S</i>＝</span></span></span></span></span><img height="35" src="/uploads/meth/20201226/ed937daeba30930068666e10de2187e9.png" width="13" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">×<i>PH</i>×（<i>x<sub>B</sub></i>﹣<i>x<sub>A</sub></i>）＝</span></span></span></span></span><img height="35" src="/uploads/meth/20201226/b3053ceaaf8eef716155a7788800ba54.png" width="13" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">（<i>x</i>﹣1﹣<i>x</i><sup>2</sup>﹣4<i>x</i>+1）×（0+3）＝﹣</span></span></span></span></span><img height="35" src="/uploads/meth/20201226/33be121e47a9aebfd9ead303dca44f52.png" width="13" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体"><i>x</i><sup>2</sup>﹣</span></span></span></span></span><img height="35" src="/uploads/meth/20201226/7f60ae3f4dcfcab916be3a1c3f98820f.png" width="13" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体"><i>x</i>，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">∵</span></span></span></span></span><img height="35" src="/uploads/meth/20201226/69fdc655897367d03a843bf3a2488806.png" width="23" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">＜0，故<i>S</i>有最大值，当<i>x</i>＝﹣</span></span></span></span></span><img height="35" src="/uploads/meth/20201226/84d1c4228c7fe21af850ffacfe0bbdeb.png" width="13" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">时，<i>S</i>的最大值为</span></span></span></span></span><img height="35" src="/uploads/meth/20201226/02b49f41ab04ba2eb4a7961546efaf11.png" width="21" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">；</span></span></span></span></span><br /> <br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">（3）抛物线的表达式为：<i>y</i>＝<i>x</i><sup>2</sup>+4<i>x</i>﹣1＝（<i>x</i>+2）<sup>2</sup>﹣5，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">则平移后的抛物线表达式为：<i>y</i>＝<i>x</i><sup>2</sup>﹣5，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">联立上述两式并解得：</span></span></span></span></span><img height="39" src="/uploads/meth/20201226/28f0bfa98f87999a6e2ec3c1c6cb42d2.png" width="44" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">，故点<i>C</i>（﹣1，﹣4）；</span></span></span></span></span><br /> <img height="180" src="/uploads/meth/20201226/a5d4a4916840e70dbf2a3fc89880015f.png" width="173" /><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">设点<i>D</i>（﹣2，<i>m</i>）、点<i>E</i>（<i>s</i>，<i>t</i>），而点<i>B</i>、<i>C</i>的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">①当<i>BC</i>为菱形的边时，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">点<i>C</i>向右平移1个单位向上平移3个单位得到<i>B</i>，同样<i>D</i>（<i>E</i>）向右平移1个单位向上平移3个单位得到<i>E</i>（<i>D</i>），</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">即﹣2+1＝<i>s</i>且<i>m</i>+3＝<i>t</i>①或﹣2﹣1＝<i>s</i>且<i>m</i>﹣3＝<i>t</i>②，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">当点<i>D</i>在<i>E</i>的下方时，则<i>BE</i>＝<i>BC</i>，即<i>s</i><sup>2</sup>+（<i>t</i>+1）<sup>2</sup>＝1<sup>2</sup>+3<sup>2</sup>③，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">当点<i>D</i>在<i>E</i>的上方时，则<i>BD</i>＝<i>BC</i>，即2<sup>2</sup>+（<i>m</i>+1）<sup>2</sup>＝1<sup>2</sup>+3<sup>2</sup>④，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">联立①③并解得：<i>s</i>＝﹣1，<i>t</i>＝2或﹣4（舍去﹣4），故点<i>E</i>（﹣1，2）；</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">联立②④并解得：<i>s</i>＝﹣3，<i>t</i>＝﹣4±</span></span></span></span></span><img height="18" src="/uploads/meth/20201226/25ebc175c6e5bf6750a74be7e68735e5.png" width="20" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">，故点<i>E</i>（﹣3，﹣4</span></span></span></span></span><img height="18" src="/uploads/meth/20201226/a6bc8910b76c376774fedc2a6c16cd65.png" width="30" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">）或（﹣3，﹣4﹣</span></span></span></span></span><img height="18" src="/uploads/meth/20201226/8ce076f1afaf190601422cd6bb34c059.png" width="20" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">）；</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">②当<i>BC</i>为菱形的的对角线时，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">则由中点公式得：﹣1＝<i>s</i>﹣2且﹣4﹣1＝<i>m</i>+<i>t</i>⑤，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">此时，<i>BD</i>＝<i>BE</i>，即2<sup>2</sup>+（<i>m</i>+1）<sup>2</sup>＝<i>s</i><sup>2</sup>+（<i>t</i>+1）<sup>2</sup>⑥，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">联立⑤⑥并解得：<i>s</i>＝1，<i>t</i>＝﹣3，</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">故点<i>E</i>（1，﹣3），</span></span></span></span></span><br /> <span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">综上，点<i>E</i>的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4</span></span></span></span></span><img height="18" src="/uploads/meth/20201226/cf4d2fe2bd4af4042e9a82323ab828de.png" width="30" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">）或（﹣3，﹣4﹣</span></span></span></span></span><img height="18" src="/uploads/meth/20201226/f3643214c5c90acb469aec164f23d5b0.png" width="20" /><span style="font-size:10.5pt"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:Calibri"><span style="line-height:150%"><span style="font-family:宋体">）或（1，﹣3）．</span></span></span></span></span>
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本题考查了"二次函数图象与系数的 二次函数的几何最值问题 待定系数法求二次函数 二次函数综合应用 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键
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