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自主录题一试题内容

试题内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是边长为5的菱形，顶点A，C，D均在坐标轴上，sinB＝<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/e9d5b1422eecb385393c37c10061a84b.png" width="13" />． 
（1）求过A，C，D三点的抛物线的解析式； 
（2）记直线AB的解析式为y1＝mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2＝ax2+bx+c，求当y1＞y2时，自变量x的取值范围； 
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，且直线PE交x轴于点F，问：当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值． 
                                                                                                                                               <img height="145" src="/uploads/meth/20201226/4109df39c82040971f15654632d0dc43.png" width="211" />

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自主录题一试题解答

试题解答

解：（1）∵四边形ABCD是边长为5的菱形， 
∴AB＝AD＝CD＝BC＝5，sinB＝sinD＝<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/41a60f929d008efcf7aab636b5f5691e.png" width="13" />； 
Rt△OCD中，OC＝CD•sinD＝4，OD＝3；OA＝AD﹣OD＝2， 
即：A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）； 
设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3），得：2×（﹣3）a＝4，a＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/23d202a80b97aeb2685846148317b38b.png" width="13" />； 
∴抛物线：y＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/585f1eed5f87c488ab293747aeecb284.png" width="13" />x2+<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/67f7960846a5411ff11a32fd7b0ef323.png" width="13" />x+4①； 
 
（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/8dbbac5054f90457d292f2f241d3c5bd.png" width="13" />x﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/20a8f7ab7cfc3f77618ae59dc1174eaf.png" width="13" />； 
由（1）得：y2＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/a75517a1fa0ab963395f2c57fba307ee.png" width="13" />x2+<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/7b5b89ed0ac0b1aa30bf1b7f59db76a3.png" width="13" />x+4，则<img height="76" src="/uploads/meth/20201226/c75e7d1280d1f3cb903db9dc6de2bee6.png" width="117" />， 
解得<img height="57" src="/uploads/meth/20201226/aa83a6f9b91d1618ec32f58f97758a30.png" width="119" />； 
由图可知：当y1＞y2时，x＜﹣2或x＞5； 
 
（3）∵S△APE＝<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/9b01d4af0f18740d7fb0055e017f325f.png" width="13" />AE•h， 
∴当P到直线AB的距离最远时，S△APE最大； 
若设直线l∥AB，则直线l与抛物线有且只有一个交点时，该交点即为点P； 
设直线l：y＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/1534bd3747a9082e8e5b06e00d0d7ef7.png" width="13" />x+b，当直线l与抛物线有且只有一个交点时， 
则﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/37cde1c2cb4e200362acdcd62abeb145.png" width="13" />x+b＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/84d1992bbf5eda78ac1f0fa1086717f8.png" width="13" />x2+<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/63d52a43ec0263b0f2cc9570ed777a68.png" width="13" />x+4，即2x2﹣6x+3b﹣12＝0， 
△＝36﹣8（3b﹣12）＝0，解得：b＝<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/e4d250980e496d73333aa212dd076c0a.png" width="21" />， 
即直线l：y＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/4c69ce5c052199c35884946aee71b5c4.png" width="13" />x+<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/5ea8a21b34f6970ba03ae112a1692251.png" width="21" />②； 
联立①②并解得：x1＝x2＝<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/aeed7b5d0f3a804e6761a89ecc78cc60.png" width="13" />，故点P（<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/ff3d53ffb7c6777cad1ab9bf740e3f85.png" width="13" />，<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/294039d513afa3d50da025cd3485246a.png" width="13" />）． 
由（2）得：E（5，﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/1caa2f560a5066f567d3480a41d95591.png" width="21" />），则直线PE：y＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/eb512e867ed7293b5e38764eecd87e9d.png" width="21" />x+9； 
则PE与x轴的交点F的坐标为（<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/ff55ab9956f9f10cd7ea6b0d696d4feb.png" width="21" />，0）， 
∴AF＝OA+OF＝<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/f20bff1e844365142f11ca3c752e588b.png" width="21" />； 
∴△PAE的最大值为S△PAE＝S△PAF+S△AEF＝<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/031e221656e999317ba7c50516e59e04.png" width="13" />×<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/5748a49668971e205c168430079ed4c0.png" width="21" />×（<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/2bf32dd9e173916ad1c567a092690bd5.png" width="21" />+<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/1f1a94449d2fe16057d0de7041ef9f20.png" width="13" />）＝<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/c283cb64f7b335c5cd1c392652c9b4c6.png" width="29" />． 
综上所述，当P（<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/037cb1dbcbceb80c9d9abfc15ac90a80.png" width="13" />，<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/3f06c303db8f00961ff60a137727c053.png" width="13" />）时，△PAE的面积最大，最大面积为<img height="35" src="/uploads/meth/20201226/fb5361437819b039cffedb6860777bdb.png" width="29" />．

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