自主录题

自主录题一试题解答

试题解答

方法一： 
解：（1）由A（4，0），可知OA＝4， 
∵OA＝OC＝4OB， 
∴OA＝OC＝4，OB＝1， 
∴C（0，4），B（﹣1，0）． 
设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c， 
则<img height="60" src="/uploads/meth/20210407/6d2fccdcb7eeaa2efca812c0ed92fe39.png" width="92" />， 
解得：<img height="60" src="/uploads/meth/20210407/36c2338c89db9c09bdb539b00540c2d1.png" width="44" />， 
则抛物线的解析式是：y＝﹣x2+3x+4； 
 
（2）存在． 
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M． 
∵∠ACP1＝90°， 
∴∠MCP1+∠ACO＝90°． 
∵∠ACO+∠OAC＝90°， 
∴∠MCP1＝∠OAC． 
∵OA＝OC， 
∴∠MCP1＝∠OAC＝45°， 
∴∠MCP1＝∠MP1C， 
∴MC＝MP1， 
设P（m，﹣m2+3m+4）， 
则m＝﹣m2+3m+4﹣4， 
解得：m1＝0（舍去），m2＝2． 
∴﹣m2+3m+4＝6， 
即P（2，6）． 
第二种情况，当点A为直角顶点时：过A作AP2⊥AC，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F． 
∴P2N∥x轴， 
由∠CAO＝45°， 
∴∠OAP2＝45°， 
∴∠FP2N＝45°，AO＝OF． 
∴P2N＝NF， 
设P2（n，﹣n2+3n+4）， 
则n＝（﹣n2+3n+4）+4， 
解得：n1＝﹣2，n2＝4（舍去）， 
∴﹣n2+3n+4＝﹣6， 
则P2的坐标是（﹣2，﹣6）． 
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）； 
<img height="221" src="/uploads/meth/20210407/bfbf40fe191e8e7edfdf1fb954dc2e5e.png" width="415" /> 
（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF． 
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短． 
由（1）可知，在直角△AOC中，OC＝OA＝4， 
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点． 
又∵DF∥OC， 
∴DF＝<img height="35" src="/uploads/meth/20210407/90e6e2ca3718ed03e5bf725363e2cc77.png" width="13" />OC＝2， 
∴点P的纵坐标是2． 
则﹣x2+3x+4＝2， 
解得：x＝<img height="37" src="/uploads/meth/20210407/a5a00aac3d8ef6f12116e2f4540adb6a.png" width="57" />， 
∴当EF最短时，点P的坐标是：（<img height="37" src="/uploads/meth/20210407/cc1d7f6f4dd7ef607f42d3c80030cc83.png" width="49" />，2）或（<img height="37" src="/uploads/meth/20210407/3cea63d8053a8f3c1dd0b758c3c8976d.png" width="49" />，2）． 
 
方法二： 
（1）略． 
（2）①当以C为直角顶点时，过点C作CP⊥AC，交抛物线于点P， 
∵A（4，0），C（0，4）， 
∴KAC＝﹣1， 
∵CP⊥AC，∴KCP×KAC＝﹣1，KCP＝1， 
∴lCP：y＝x+4， 
∴<img height="45" src="/uploads/meth/20210407/7a30500164f5be99eafb3d17a53f7e78.png" width="97" />⇒x2﹣2x＝0， 
∴x1＝0（舍），x2＝2， 
∴P（2，6）， 
②当点A为直角顶点时，过点A作AP⊥AC交抛物线于点P， 
∵AP⊥AC， 
∴KAP×KAC＝﹣1， 
∴KAP＝1 
∴lAP：y＝x﹣4， 
∴<img height="45" src="/uploads/meth/20210407/11b63ab6feb91808c3a115ecd77c6f1e.png" width="97" />⇒x2﹣2x﹣8＝0， 
∴x1＝4（舍），x2＝﹣2，∴P（﹣2，﹣6）， 
综上所述，P点的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）， 
 
（3）设P（t，﹣t2+3t+4），E（0，﹣t2+3t+4）， 
lAC：y＝﹣x+4， 
∴D（t2﹣3t，﹣t2+3t+4），F（t2﹣3t，0）， 
∴EF2＝（t2﹣3t）2+（t2﹣3t﹣4）2， 
令t2﹣3t＝m， 
∴EF2＝m2+（m﹣4）2＝2m2﹣8m+16， 
∴当m＝2时，EF2有最小值，即t2﹣3t＝2时， 
∴t＝<img height="37" src="/uploads/meth/20210407/5daeb22ad3c94b30f9111e83245fcc3d.png" width="49" />或<img height="37" src="/uploads/meth/20210407/b7b2593e3cbbcf4282fe58c2b74441f7.png" width="49" />， 
∴当EF最短时，点P的坐标是：（<img height="37" src="/uploads/meth/20210407/79dee1b9bbf13389442ab205eb135dc8.png" width="49" />，2）或（<img height="37" src="/uploads/meth/20210407/935b09d98cae6c26ff13a071d3024809.png" width="49" />，2）．

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