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自主录题一试题内容

试题内容

在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/b62e6c13b7108cca5b12bb0bb0d95f04.png" width="13" />x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/839248e69489c59803f2ed8600ec28bf.png" width="13" />x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． 
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标． 
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标． 
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标． 
<img height="144" src="/uploads/meth/20210329/072bb377d2893fb39ce6213d60bdc8a7.png" width="393" />

题型种类

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选项内容

A B C D E F G H

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自主录题一试题解答

试题解答

解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：<img height="57" src="/uploads/meth/20210329/0aefcc8aef57cdb3e1b68fed78a5e988.png" width="107" />， 
解得：<img height="57" src="/uploads/meth/20210329/3a287d850d4c9d4d931756d79017a042.png" width="49" />，即二次函数解析式为y＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/07f2c2a3802695fc57889e8971f9863f.png" width="13" />x2+<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/b2fc4c005f72d18dc2d007620a262fa4.png" width="13" />x+2， 
联立一次函数解析式得：<img height="76" src="/uploads/meth/20210329/546948199ae344a8b74021bc50178f9c.png" width="117" />， 
消去y得：﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/25a399b20723be3be8e1a814b74a7a04.png" width="13" />x+2＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/6eae8d533db5c220fe58a921f5dbfcc5.png" width="13" />x2+<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/eaddab7913b718c6007af1a1ac3e8b7a.png" width="13" />x+2， 
解得：x＝0或x＝3， 
则E（3，1）； 
（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H， 
设M（m，﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/de829625f6f4f559790983adc1fbccff.png" width="13" />m2+<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/1f5b92c68c78fada424c0abf994b5a82.png" width="13" />m+2），则H（m，﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/fc3fde5bf8e4ac723b2076123c7aeca7.png" width="13" />m+2）， 
∴MH＝（﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/39c4e6c59adc2b0bfa3ddf21785687b2.png" width="13" />m2+<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/bd2aa92a7dc7b43452cd3c67791fa673.png" width="13" />m+2）﹣（﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/86fd3c7ab41c7960afb4fe9834fb997a.png" width="13" />m+2）＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/aae0ad5246b1906b242f43ef9f9a157a.png" width="13" />m2+2m， 
S四边形COEM＝S△OCE+S△CME＝<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/99c49ad0e88da80dc99c8aae4a96752d.png" width="13" />×2×3+<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/b28b4da50acf312c30df510c31af6969.png" width="13" />MH•3＝﹣m2+3m+3， 
当m＝﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/7fc994dc9564a1b990d378a417b445cc.png" width="21" />＝<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/8e4bea16440e68e8c3c356dbaea93329.png" width="13" />时，S最大＝<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/58935bbd3cb247b5c9328354e3202aee.png" width="21" />，此时M坐标为（<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/fadf6e03e989b976fdb2d2bc05ee3116.png" width="13" />，3）； 
（3）连接BF，如图②所示， 
当﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/adca994896405d67b74b38bd9642dae3.png" width="13" />x2+<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/df68edca31582ac67ca7ef933d5bc9ba.png" width="13" />x+2＝0时，x1＝<img height="37" src="/uploads/meth/20210329/2795d5ee39b3a1adde4926531955028e.png" width="49" />，x2＝<img height="37" src="/uploads/meth/20210329/0e3ef1137ab19e883e34a68b2b28777c.png" width="49" />， 
∴OA＝<img height="37" src="/uploads/meth/20210329/99a5e984ec011d1af006b996cfaf8023.png" width="49" />，OB＝<img height="37" src="/uploads/meth/20210329/d1214f04c277e367b01ddb90456ffcc2.png" width="49" />， 
∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB， 
∴△AOC∽△FOB， 
∴<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/7dc6f570f7cb877f0476f9fef4bed8b3.png" width="21" />＝<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/4284f96e5281179d9e3bddbe136c2409.png" width="21" />，即<img height="56" src="/uploads/meth/20210329/3ea36c76cde24fa0bb512738d70bd706.png" width="52" />＝<img height="56" src="/uploads/meth/20210329/6517d210c396cba3073ffae2efff2cde.png" width="52" />， 
解得：OF＝<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/529412b8dab3d461ad94fa7d01c1d250.png" width="13" />， 
则F坐标为（0，﹣<img height="35" src="/uploads/meth/20210329/843b72b5f09f92a8b69b1c4cb61f54ba.png" width="13" />）． 
<img height="144" src="/uploads/meth/20210329/278a6c0e01e563af28a79a342660946e.png" width="393" />

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